Matematik

SSO - Komplekse tal

13. december 2005 af Dikael (Slettet)

Hej... sidder og bakser med SSO nu... har valgt emnet komplekse tal... men er lidt på bar bund med en af de opgaver jeg fik stillet:

Løs ligningen

(z+i2)^3=(z+i2)^-3 - nogen der bare kan give et lille hint til hvad jeg skal bruge af formler ??

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Bemærk først, at definitionsmængden for ligningen er C\\{-2i}. Prøv at forlæng med (z+i2)^3, således at du får

(z+2i)^6 = 1 (*)

Da eksponenten er lige, kan du i hvert fald se, at de z, der opfylder at

z + 2i = -1
z + 2i = 1

løser ligningen; altså er

z = -1 - 2i
z = 1 - 2i

løsninger. Der er dog endnu fire løsninger, hvilket anvendelsen af algebraens fundamentalsætning på (*) giver os.

Jeg er lige kommet ind af døren, så jeg har endnu ikke kunnet gennemskue om man kan finde de resterende løsninger på en tilsvarende smart måde, eller om man skal til at lave slaveregninger -- jeg vender tilbage med mere, når jeg har fundet ud af noget.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. december 2005 af LanioX (Slettet)

Du kan jo gange igennem med (z+i2)^3 så du får (z+i2)^6 = 1, så kan du finde de 6 løsninger til x^6=1 og bruge at x=z+i2

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#1:
Okay, det er nok nemmeste at gøre som foreslået i #2. Det er velkendt, at løsningerne til en binom ligning

x^n = 1 (*)

danner hjørnerne i en regulær n-kant, hvis omskrevne virkel er den komplekse enhedscirkel. I det konkrete tilfælde er n = 6, så vi har en løsning hvor hver pi/3. Eftersom

cos(pi/3) = 1/2
sin(pi/3) = 3^(1/2)/2

ses de fire løsninger til (*), hvor x = z + 2i, at være

x = +/- 1/2 +/- 3^(1/2)/2*i (**)

Dette indses nemt ved at bruge symmetrien i sinus og cosinus, når man holder sig til enhedscirklen. Udfra (**), kan du hurtigt bestemme de resterende fire løsninger til den oprindelige ligning.

Svar #4
13. december 2005 af Dikael (Slettet)

Takker...

Så må vi se om det lykkedes :)

Svar #5
13. december 2005 af Dikael (Slettet)

Takker...

Så må vi se om det lykkedes :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Jeg fik da vist skrevet noget vrøvl:

... danner hjørnerne i en regulær n-kant, hvis omskrevne virkel er den ... --> ... danner vinkelspidserne i en regulær n-kant, hvis omskrevne cirkel er den ...

Svar #7
14. december 2005 af Dikael (Slettet)

Nu har jeg prøvet... men kan altså ikke helt gennemskue hvordan det er i vil have mig til det ??? Kan i ikke evt. prøve at lave en eksempel med et andet tal.. For eksempel:

(z-i4)^2=(z-i4)^-2

Så ganger i igennem med (z-i4)^2 og får:
(z-i4)^4=1

De to løsninger er så

z=-1+i4

og

z=1+i4

Men hvordan er det så i siger at jeg skal finde de to sidste ?? kan jeg ikke helt gennemskue på den måde i skriver det... Og slet ikke når det som i den anden er x^6=1... det kan jeg ikke se hvordan jeg skal få til at lykkedes ?? og hvad for formler jeg lige umidlbart skal bruge.... kunne godt bruge lidt hjælp :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2005 af sigmund (Slettet)

I en af mine matematikbøger* står der følgende:

For den binome ligning z^n=a=r_v, hvor a!=0, er de n løsninger givet ved

z=[r^(1/n)]_(v/n+p*2pi/n)

= r^(1/n){cos[(v/n)+p*2pi/n]+i*sin[(v/n)+p*2pi/n]}, p=0,1,...,n-1.

Den benyttede notation kræver vist en forklaring:

1) r_v skal forstås som (det komplekse) tal med modulus r og hovedargument v.
2) På samme måde forstås z=[r^(1/n)]_(v/n+p*2pi/n) som de komplekse tal med modulus r^(1/n) og argument v/n+p*2pi/n, hvor p som anført er 0,1,...,n-1.

Prøv nu at afsætte de forskellie løsninger, dvs. punkter, i et k-system, og tegn en cirkel gennem punkterne. Nu forstår du så hvad #3+#6 taler om.

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. december 2005 af sigmund (Slettet)

Jeg glemte at tilføje litteratur i #8. (*) i #8 skal henvise til

* Helge Elbrønd Jensen: Matematisk Analyse 1, 4. udgave; Institut for Matematik, DTU; 2000.

Svar #10
14. december 2005 af Dikael (Slettet)

Har selv løst den... Alt hvad jeg skulle bruger var formlen for løsning af ligning z^n=1... da ved man nemlig at argumentet er 0 og modulus er 1... og så er det nemt nok... :)

Men tak for hjælpen alle sammen...

Skriv et svar til: SSO - Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.