Matematik
Hjælp til udregninger (SSO)
16. december 2005 af
Lark (Slettet)
Hej,
Jeg skriver 3.g-opgave om iterative systemer, og jeg ønsker at udlede hvordan man finder elementerne i en 2-cykel i et feigenbaumsystem. På http://www.math.ku.dk/~moller/f02/dannelse/almbog/Main.pdf på side 7 er der et bevis herom, men jeg kan ikke forstå hvorledes udregningerne hænger sammen. Hvordan kommer man fra 2. til 3. skridt?
f(x) = ax(1-x)
f(f(x)) = aax(1-x)(1-ax(1-x)) = x
f(f(x)) = a^2x(1-x)(ax^2-ax+1) = x
f(f(x)) = a^2(1-x)(ax^2-ax+1)-1 = 0
f(f(x)) = -a(x-(1-(1/a)))(a^2x^2-(a^2+a)x+a+1) = 0
Hvordan kommer man til denne ligning? Og hvis nogen ved det, hvorfor er det da nødvendigt kun at kigge på andengradsligningen når man søger at finde elementerne i 2-cyklen?
Jeg skriver 3.g-opgave om iterative systemer, og jeg ønsker at udlede hvordan man finder elementerne i en 2-cykel i et feigenbaumsystem. På http://www.math.ku.dk/~moller/f02/dannelse/almbog/Main.pdf på side 7 er der et bevis herom, men jeg kan ikke forstå hvorledes udregningerne hænger sammen. Hvordan kommer man fra 2. til 3. skridt?
f(x) = ax(1-x)
f(f(x)) = aax(1-x)(1-ax(1-x)) = x
f(f(x)) = a^2x(1-x)(ax^2-ax+1) = x
f(f(x)) = a^2(1-x)(ax^2-ax+1)-1 = 0
f(f(x)) = -a(x-(1-(1/a)))(a^2x^2-(a^2+a)x+a+1) = 0
Hvordan kommer man til denne ligning? Og hvis nogen ved det, hvorfor er det da nødvendigt kun at kigge på andengradsligningen når man søger at finde elementerne i 2-cyklen?
Svar #1
16. december 2005 af Lark (Slettet)
Rettelse: Det drejer sig om side 8 i den nævnte PDF-fil.
Svar #2
16. december 2005 af frodo (Slettet)
Mener du dette:
(f(x)) = a^2x(1-x)(ax^2-ax+1) = x
f(f(x)) = a^2(1-x)(ax^2-ax+1)-1 = 0
det gør du ved at dele med x på begge sider, og dernæst trække 1 fra på begge sider.
Resten ved jeg intet om.
(f(x)) = a^2x(1-x)(ax^2-ax+1) = x
f(f(x)) = a^2(1-x)(ax^2-ax+1)-1 = 0
det gør du ved at dele med x på begge sider, og dernæst trække 1 fra på begge sider.
Resten ved jeg intet om.
Svar #3
16. december 2005 af fixer (Slettet)
2-cykler {p,q} er netop sådanne hvor en liste af iterationer vil udvikle sig som
{........ p q p q p q...}
og betegner at perioden mellem samme værdi er 2. Der kræves endvidere at p != q, hvilket også fremgår af Definition 1.2.3 i de referede noter.
Der skal altså gælde at
f(f(p)) = p
f(f(q)) = q
og at hverken p eller q kan være fixpunkt for f. Det ville jo eksempelvis betyde, at f(p) = p hvorfor f(f(p)) = f(p) = p hvilket ikke leder til en 2-cykel.
Man ledes alstå til at betragte ligningen
f(f(x)) = x
hvorved man får de i noten angivne regninger. Årsagen til, at man ser bort fra løsningen x=1-1/a er netop at denne er et fixpunkt for f. Jævnfør betragtningerne ovenfor kan den derfor ikke være et element i den søgte 2-cykel.
{........ p q p q p q...}
og betegner at perioden mellem samme værdi er 2. Der kræves endvidere at p != q, hvilket også fremgår af Definition 1.2.3 i de referede noter.
Der skal altså gælde at
f(f(p)) = p
f(f(q)) = q
og at hverken p eller q kan være fixpunkt for f. Det ville jo eksempelvis betyde, at f(p) = p hvorfor f(f(p)) = f(p) = p hvilket ikke leder til en 2-cykel.
Man ledes alstå til at betragte ligningen
f(f(x)) = x
hvorved man får de i noten angivne regninger. Årsagen til, at man ser bort fra løsningen x=1-1/a er netop at denne er et fixpunkt for f. Jævnfør betragtningerne ovenfor kan den derfor ikke være et element i den søgte 2-cykel.
Skriv et svar til: Hjælp til udregninger (SSO)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.