Side 2 - Integration

#20

Hvad mener du med, at integralet eksisterer for a > 0? Hvis a = -1, så har vi:

₀∫^∞ e^t ·cos(t) dt. Eksisterer denne her ikke?

#21

Nej, det eksisterer ikke.

#22

Min lommeregner kan heller ikke regne det ud. Hvordan ved man 'bare', at a > 0?

Jeg forstår stadigvæk ikke det sidste step du laver for at finde løsningen. Fremgangsmåden virker ikke bekendt.

#23

Du skal se på om grænseværdien

       ₀∫^b e^-at·cos(t) dt   eksisterer for b → ∞ .

Hvad er det i det foregående, du ikke forstår?

Hvis man integrerer partielt to gange kommer man tilbage til det integral, man startede med. Man har så en identitet, hvori indgår det ukendte integral, som så isoleres udtrykt ved kendte funktioner.

#24

Så hvis a < 0, har integralet ikke en grænseværdi, eller?

Jeg forstår ikke princippet generelt. Du erstatter t med ωt hele vejen igennem og at a = s/ω. I det oprindelige integral var der også 2ω, men hvor du kun har 2-tallet med. Hvor bliver ω af?

#25

Ja, det er korrekt. Integralet i #24 eksisterer kun for a > 0 .

Du kan tænke på det således, at der foretages en substitution u = ωt, du = ω dt . Det er jo antydet ved at
skrive d(ωt) . Faktoren ω forsvandt ind i differentialet, og -st skrives så som -(s/ω)·ωt , så man kan se, at man kan benytte integralet i #14

          ₀∫^∞ e^-at ·cos(t) dt = a/(1+a²) , a > 0    

ved at sætte a = s/ω og gange det hele med 2.

#26

Jeg kan godt nok ikke se det for mig lige nu. Jeg har lettere ved at forstå substitution, men kan ikke se, hvordan du anvender substitution på udtrykket i #26.

Hvis dt = du/ω og a = s/ω, så har vi:

₀∫^∞ e^-(s/ω)t ·cos(t) du, hvor ω går ud med den eksisterende ω. Men hvad med alt det andet?

#27

Det ønskede integral fra #12 er

        I = ₀∫^∞ e^-st 2·ω·cos(ωt) dt

Her benytter man substitution   u = ωt, du = ω dt , t = u/ω , så integralet bliver

        I = 2 · ₀∫^∞ e^-(s/ω)u cos(u) du

#28

Det hjalp. Mange tak.

Et sidste spørgsmål:

Hvordan ved man, at sin(t^~) = 1/√(2) (sin(t) - cos(t)) i det følgende eksempel (se helt nederst):

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

#30

Vi er enige om, at t^~ ≠ t, ikke? Hvad har det med additionsformlen at gøre?

#32

Mange tak! :-)