Integration

Man skal benytte, at e^-st ·tⁿ⁺¹ → 0 for t → ∞ .

#1

Ja, okay.

Hvorfor har man egentlig ikke en integrationskonstant, når man benytter et integral i en laplacetransformation?

#2

Det har man vel også, men i et uegentligt, bestemt integral er den jo uden betydning.

#3

Okay.

Et andet spørgsmål:

Vi ved, at laplacetransformationen af tⁿ er n!/(sⁿ⁺¹), hvor n = 0, 1, 2...

Laplacetransformationen af t^a (med a som et positivt tal) er Γ(a + 1)/s^a+1, hvor

Γ(a + 1) = ∫₀^∞(e^-tt^a)dt.

Hvordan man kan se, at Γ(a + 1) = n! for a = n?

For heltallig , positiv n har man

        ∫ e^-t ·tⁿ dt = -e^-t · tⁿ + n · ∫ e^-t ·t^n-1 dt

                       = -e^-t · tⁿ - n · e^-t · t^n-1 + n·(n-1) · ∫ e^-t · t^n-1 dt

                ...    = -e^-t · (tⁿ + n·t^n-1 + n·(n-1)·t^n-2 + ... + n·(n-1)·...·2·t + (n!))

Med grænserne 0 til ∞ i integralet er det kun det sidste led, der giver et bidrag forskelligt fra 0, så

        ₀∫^∞ e^-t ·tⁿ dt = n! .

#5

Bliver det ikke t^n-2 i det sidste led i tredje linje?

#6

Jo, det er korrekt.

#7

Jeg fangede dog ikke, hvordan du kom frem til: + ... + n·(n-1)·...·2·t + (n!))

Vil du prøve at forklare det?

Jeg kan kun se følgende tendens:

-e^-t · (tⁿ + n·t^n-1 + n·(n-1)·t^n-2 + n·(n-1)·(n-2)·t^n-3) + n·(n-1)·(n-2)·(n-3) · ∫ e^-t · t^n-4 dt

osv.

#8

Man ender jo så med et led

        n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·3·2 · ∫ e^-t·t dt = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·3·2 · (-e^-t ·t + 1 · ∫ e^-t dt )

                                                               = -e^-t · t · n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·...·3·2 - e^-t · n!

#9

Nu kan jeg se det, tak.

Kan du evt. se, hvordan de løser eksempel 5 i det følgende link?:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Jeg kan ikke se, hvordan de får brugt de to indledende formler i eksempel 5.

#9

Jeg kom igennem det nu. Se bort fra #10.

#9

Jeg er gået lidt i stå med følgende integral:

I = ∫₀^∞ e^-st 2ωcos(ωt)dt

Jeg synes, at jeg går i ring, når jeg prøver at integrere.

Den kan måske ikke løses?

#13

Ved at integrere partielt finder man

        ∫ e^-at ·cos(t) dt = -(1/a)·e^-at·cos(t) dt - (1/a)·∫ e^-at·sin(t) dt

                               = -(1/a)·e^-at·cos(t) dt +(1/a²)·e^-at·sin(t) - (1/a²)·∫ e^-at·cos(t) dt

så

        ∫ e^-at ·cos(t) dt = (a²/(1+a²)) · ((1/a²)·sin(t) - (1/a)·cos(t))·e^-at .

Derfor får man

        ₀∫^∞ e^-at ·cos(t) dt = a/(1+a²) , a > 0 .

Det søgte integral er da

        I = 2·₀∫^∞ e^-(s/ω)ωt · cos(ωt) d(ωt) = 2·(s/ω) / (1 + (s/ω)²) = 2sω / (s² + ω²) .

#14

Er der ikke en fejl med fortegn? Skulle det ikke være + (1/a) · ∫ e^-at·sin(t) dt i anden linje?

#15

Nej, for det er jo     - (-1/a)·∫ e^-at·(cos(t))' dt

#16

Nårh jo.

Lægger du så integralerne sammen, dvs.:

(1/a² + 1) ∫ e^-at ·cos(t) dt = -(1/a)·e^-at·cos(t) + (1/a²)·e^-at·sin(t)?

#17

Ja, netop. Hvis "q" står for integralet ∫ e^-at ·cos(t) dt har man jo efter at have integreret partielt to gange, at

        q = f₁(t) + f₂(t) - (1/a²)·q

og så isolerer man q.

#18

Super.

Hvordan ved du, at a > 0?

og hvad laver du til sidst i #14? Jeg kan godt se, at a = s, men hvad med ω?

#19

Det er et krav, at a > 0 for at integralet eksisterer.

a = s/ω , ikke a = s . Det skiftes til ωt som ny variabel i integralet, så det umiddelbart kan sammenlignes med integralet, der lige blev udregnet.