Side 2 - Bevis for Z=N (hele tal er lig med naturlige hele positive tal)

Men det må vel stadig være noget med lige og ulige og negative og positive

så 2n+1 er vel stadig i spil på en eller anden måde og 2n???

Men kan du måske ikke udrede beviset N0 til N helt, så jeg 100 % forstår det, så kan det være at det hjælper mig på vej til at bevise N til Z? :-)

Ja, okay. Det gælder også netop kun for den specifikke parring at den er bijektiv. Men hele ideen er at definitionen på at to mængder har samme kardinalitet er at der findes en bijektiv afbildning mellem mængderne. Der findes masser af ikke-bijektive afbildninger mellem disse mængder, men så længe vi kan finde bare én afbildning eller parring som er bijektiv, så ved vi at kardinaliteten af de to mængder er ens. Det vil sige at den præcise parring blot er en man vælger fordi det er smart og den virker. parringen man skal vælge mellem Z og N bygger på observationen i #9, her kan vi nemlig se at den afbildning vil virke (Som sagt er det også tit og ofte nok at argumentere på denne måde). Men vi kan godt prøve at lave et bevis ved at vise at de eksplicitte funktioner er bijektive, hvis du synes det er vigtigt :)

Hvis vi nu prøver bare at starte på |Z|=|N|: Sådan jeg ville starte sådan et bevis ville være ved at definere en funktion vi ønsker at vise er bijektiv. Hvis man gør som i #9, hvor man blot starter de naturlige tal ved 1 i stedet og bytter rundt på rækkefølgen af positive og negative tal, kan man gætte på en funktion der hedder f:Z->N ved f(x)={2|x| hvis x<0 og 2x+1 hvis x≥0}, kan vi vise at denne funktion er bijektiv er vi i mål, er du med så langt? :)

Det tror jeg er ret vigtigt i forhold til min problemformulering, når jeg specifikt bliver bedt om at lave et bevis for det :-)

bytter rundt på rækkefølgen af positive og negative tal hvad skal det betyde? 

Kan du ikke prøve at udrede det, og så kan jeg kigge på det og se om jeg forstår det? :-)

Jo, men det tager lige lidt tid så! :)

Det er helt i orden! Tusind tak! :-)

Okay, jeg har prøvet at skrive det ud som jeg tænker det. Jeg har forsøgt at forklare det meget detaljeret, men der kan godt være smuttere. Desuden virker noget af det måske en smule trivielt (jeg tror det er derfor der ikke er sp mange der skriver beviset ret detaljeret). Der tages naturligvis forbehold for tryk fejl :)

Hej igen. Jeg vil lige spørge i forhold til den injektive funktion gælder det så ikke at x1 ≠ x2 og at f(x1) ≠ f(x2)?? 

Dette står der i hvert fald som definition i min bog... 

Men du har gjort det omvendte eller er det mig der misforstår???

Mvh Ida

Jo der skal gælde at

Det kan du godt bruge som definition. Men hvis vi kontraponerer udsagnet får vi at:

Det vil altså sige at hvis det nederste gælder, så sikrer det også gyldigheden af det øverste (og omvendt).

Hvis du ikke er overbevist kan du læse mere her:

http://home.math.au.dk/matkt/analysenoter-final.pdf

på sde 117-118.

Okay tusind tak :-) 

Der er tre vigtige definitioner, du skal huske,

1) Mængerne X og Y siges at have samme kardinalitet, hvis der findes en bijektion fra X til Y. I så fald skriver man |X| = |Y|.

2) Hvis der findes en injektion fra X til Y, skriver man |X| ≤ |Y|.

3) En mængde X er tællelig, hvis |X| ≤ |N|. Det vil sige, hvis der findes en injektion fra X til N, så er X tællelig.

Ønsker du at vise, om |Z| = |N|, så find en bijektion fra N til Z.

Desuden er det nyttigt at huske en vigtig "påstand",

Fact: Mængden N er tællelig. Bevis: Tag f(x) = x fra N til N. QED.