Bevis for Z=N (hele tal er lig med naturlige hele positive tal)

Kardinalitet= ækvipotent

For at bevise at de to mængder har samme kardinalitet er det nok at vise at der eksisterer en bijektion mellem de to.

Der skal nok være et eksempel på sådan en funktion på en af Wikipedia-siderne, hvis du ikke selv kan forestille dig en!

Det klassiske eksempel på en bijektion mellem de to er at tage hele talrækken fra minus uendelig til uendelig. Start i 0, og giv denne tallet 0 (hvis du har 0 med i din definition af de naturlige tal, ellers kald den 1), gå derefter til 1 og kald den 1, gå så til -1 og kald den 2, derefter til 2 og kald den 3, så -2 giv den tallet 4 osv.

Altså tæl dig i gennem tallene skiftevis et positivt og et negativt tal, på den måde rammer du alle de hele tal, hver med kun ét naturligt tal.

Men er det et bevis for det, jeg forstår ikke helt konceptet, det er vel Hilberts Hotel du snakker om? Men det er jo kun et paradoks ikke et bevis? :-) 

For man skal vel have en dokumentation, man kan jo ikke blive ved i det uendelige med det du beskriver? 

For at vise at Z har samme kardinalitet son N skal man vise at der findes en bijektion mellem Z og N. I #3 prøver jeg blot at give et overblik over hvordan en sådan bijektion kunne se ud :) (se evt: https://www.youtube.com/watch?v=elvOZm0d4H0 fra ca 1:30)

Selvfølgelig kan man jo skrive funktionen op og vise at det er en bijektion osv., se måske her: https://en.wikipedia.org/wiki/Integer#Cardinality. Dog giver det andet en bedre ide om hvad faktisk er at man gør! :)

Der står bare i min opgave, at jeg skal give et bevis for at N og Z har samme kardinalitet, skal jeg så gå ud fra begge, at altså N og Z begge er tællelige mængder, som kan skrives op, og så også det med funktionen, hvordan beviser man at der er en bijektiv sammenhæng mellem N og Z?

Jeg ved jo at N er en delmængde af Z? Men jeg forstår ikke helt hvordan man skal bevise at de har samme kardinalitet, jeg forstår godt konceptet, men efter at have siddet og læst en hel bog om uendelighed, er det stadig ikke gået op for mig, hvordan man sådan konkret beviser at de har samme kardinalitet, det er jo let nok med to endelige mængder, men forstår ikke konceptet, hvis det er to uendelige tællelige mængder... Kan du måske hjælpe mig lidt mere på vej? :-)

i forhold til det wikipedialink du har sendt mig, kan du så forklare mig, hvad billedet jeg vedhæfter betyder, har aldrig set den notation før nemlig :-O

At N er tællelig følger principielt per definition (En mængde S kaldes numerabel hvis der eksisterer en bijektion mellem N og S, en mængde kaldes tællelig hvis den er enten numerabel eller endelig, og det findes åbenlyst en bijektion fra N til N: f(n)=n). Så ja, du skal vise at der eksisterer en bijektion mellem Z og N. Hvis du bruger funktionen fra wiki:

f:Z->N hvor f(x)={2|x| for x≤0 og 2x-1 for x>0}. Denne funktion vil du gerne vise er bijektiv, altså at den både er surjektiv og injektiv, så prøv at gå ud fra definitionen af disse ting! :) 

og |x| betyder den numeriske værdi af x, hvis x er negativ gør den det bare positiv, f.eks. er |-2|=2 mens også |2|=2.

0, 1,  2,  3,  4,  5,  6,   7,  8,...

⇓  ⇓  ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓   ⇓

0, 1, -1,  2,  -2, 3,  -3,  4,  -4

Men det er altså egentlig der her det drejer sig om, at du kan tilegne et og kun et tal fra den ene mængde til tallene i den anden mængde, kig på tabellen her, når du fortsætter i det uendelige ´med samme system, så bliver ehvert helt tal ramt af et naturligt tal, og ingen hele tal bliver ramt af flere end et naturligt tal. Det er netop definitionen på en bijektion! :)

Ja, det er jeg klar over :-) men hvis man nu skal bevise N=N0 skal man så bare sige, at n rammer n+1? Eller hvordan kan man lave et yderligere bevis på det?

Jeg forstår bare ikke hvordan jeg lige kan bevise, at det er disse funktioner, der beviser, at det er det, hvis du forstår hvad jeg mener, undskyld alle mine spørgsmål, men synes virkelig ikk det giver nogen mening

altså jeg ved jo, at et lige tal altså er 2n og et ulige tal er 2n+1??

Men jeg kan slet ikke forstå det overhovedet, findes der ikke et forklarende bevis?

Synes ikke rigtig der nogle steder er nogen der argumenterer for det?

Ja, du kan lave en bijektion fra N₀ til N ved at sige f(n)=n+1, er dette en bijektion? for y∈N da vil gælde at x=y-1∈N₀ og at f(x)=y, det vil sige at f(n) er surjektiv, lad nu x,x'∈N₀ sådan at f(x)=f(x')=y det vil sige at f(x)=x+1=y=x'+1=f(x') => y=x-1 og y=x'-1 => x-1=x'-1 => x=x' og altså er f(n) injektiv og derfor en bijektion. (Sådan viser man bijektioner nogen gange)

Og jeg tror det er rigtig gode observationer du gør med lige og ulige tal, så er du allerede langt :)

Jeg kan heller ikke lige umiddelbart finde nogle beviser der forklarer det bedre :/

Hvor har du fundet det der bevis henne? :-) jeg vil gerne se hjemmesiden, så jeg måske forstår det bedre, eller er det dit eget bevis????

Ja, det var bare noget jeg selv lavede for at forsøge at vise en måde at gøre det på!

Okay, men hvorfor bliver y∈N  til  x=y-1∈N0 Jeg forstår ikke dette step :-)

er det ikke y+1? eller er det fordi man isolerer et eller andet, det har jeg ikke fanget helt?

Ideen er at hvis du har et y∈N ved du at y-1∈N₀, f.eks. 5∈N så jeg ved at 5-1=4∈N₀, dette gælder for alle tal fra N. Jeg kalder derfor x=y-1 da jeg ved at dette tal ligger i N₀, og det viser sig at det er netop dette tal jeg skal bruge for at ramme y med min funktion! :) 

Så du laver altså en omvendt funktion??? f^-1(y)=x??? For det er jo en afbildning fra N0 til N vi laver nu ik??

For jeg ved jo i forvejen at hvis jeg har n∈N så har jeg at  at n+1∈N0,

Derfor er den omvendte funktion altså y∈N og ved at y-1∈N0

Og så i forhold til det med injektiv forstår jeg slet ikke i forhold til den bog jeg læser i... den hedder uendelighed og kardinalitet af Steen Bentzen

http://uvmat.dk/bentzen/Uendelighed_og_kardinalitet.pdf

Kan du måske lave beviset N=Z sammen med mig i maple??? for det er jo egentlig det jeg skal finde frem til, men første step er vel at bevise N0=N

|N₀|=|N| behøver du ikke, det var bare et kort eksempel, du kan bare lave funktionen fra Z til N. Prøv at kom med et bud på at få beviset startet, så kan vi tage den derfra :) 

Men jeg synes virkelig det er svært, har svært ved at forstå konceptet, kan ikke se at dit eksempel var et bevis, for man gik jo kun ud fra at f(n)=n+1

Men hvordan ved man hvordan man skal "parre" elementerne fra Z til N???

Altså hvis man har Z+ og N0 er det jo det samme som ved N og N0, men jeg kan ikke rigtig se, hvordan man uden at vide hvordan man skal parre Z og N skulle kunne bevise det?????? :-)