Matematik

Rumgeometri

11. januar 2006 af Alima (Slettet)

godaften..

Jeg sidder med en lille matematikopgave, som jeg er lidt i tvivl om..

Jeg har vektorerne a=(2,3,1) og b=(t+5,6,2).

Jeg skal så bestemme tallet t således, at a og b er parallelle..

Jeg ved at når skalarproduktet mellem to vektorer er lig 0 er de ortogonale, dette kan jeg udnytte ved at finde tværvektoren til enten a eller b.
En anden muligheden er at det(a,b) skal give 0.

Men hvordan er reglerne for tværvektorer i rummet og hvordan regnes determinanten ud, når det er vektorer i rummet?

Svar #1
11. januar 2006 af Alima (Slettet)

for vektorer i planen gælder der

a=(a1,a2) <=>
tværvektoren til a=(-a2,a1)

men hvordan ser det ud for vektorer i rummet?

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar 2006 af fixer (Slettet)

Du kan ikke beregne tværvektorer i rummet på samme vis som i planen.

Udnyt istedet at to egentlige vektorer er parallelle hviss deres krydsprodukt (vektorprodukt) er nulvektoren.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. januar 2006 af lany (Slettet)

Det er naturligviskorrekt, hvad der står i #2, men måske følgende er hurtigere:

Hvis a og b skal være parallelle, kan du finde et tal, k så b=k*a. I dette tilfælde er k=2. Prøv selv at gå videre.

Svar #4
11. januar 2006 af Alima (Slettet)

#2

Tak for svaret, men hvordan lyder definitonen på krydsprodukt, og nulvektoren?

#3
Er dette en generel regel, der gælder for alle tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. januar 2006 af fixer (Slettet)

#4
Metoden i #3 udtrykker at to vektorer er parallelle hvis de er lineært afhængige. At de er lineæart afhængige betyder at de to vektorers koordinater er proportionale. Metoden er tilstrækkelig hvis det, som i dette tilfælde, er let at se hvad proportionalitetskonstanten mellem vektorerne koordinater er.

Hvis du ikke har lært om krydsproduktet så glem det. Metoden er helt ækvivalent med #3.

Svar #6
11. januar 2006 af Alima (Slettet)

#5
Ikke fordi jeg vil være nærgående eller noget, men er det krydsproduktet for omfattende til at forklare det herinde?

jeg benytter nu metoden i #3

b=k*a , hvor k = 2 =>
2(2,3,1)= (2,6,2), jeg har så vektor b givet ved (t+5,6,2), og t+5 skal s¨være lig 2, som fås ved at sætte t lig -3.
Derfor bestemmes tallet t til at være -3.

er dette tilstrækkelig som svar på opgaven?

Svar #7
11. januar 2006 af Alima (Slettet)

har den brugte metode en konventionel betegnelse?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. januar 2006 af lany (Slettet)

#6: En korrektion.

2(2,3,1)=(4,6,2). Dvs. 4=t+5

#7: Ikke mig bekendt

Svar #9
11. januar 2006 af Alima (Slettet)

#8, selvfølgelig.. det er en sjuskefejl...

men vi får så tallet t til at være -1, korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. januar 2006 af fixer (Slettet)

#9
Ja.

#7 Nej.

#6.
Jeg havde ikke tid på daværende tidspunkt. Vektorproduktet mellem 2 vektorer a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) er en vektor a x b (læses: a kryds b) med længden |a x b| = |a||b|sin(a,b), hvor (a,b) er vinklen mellem a og b. Denne vinkel er nul eller pi hvis a og b er parallelle (henholdsvis ensrettede og modsat rettede) og længden af |a x b| derfor nul. En vektor, med længden nul, kaldes en nulvektor.

Koordinaterne for a x b findes ved at udregne determinanterne

a x b = (
| a2 a3 |
| b2 b3 |,

| b1 b3 |
| a1 a3 |,

| a1 a2 |
| b1 b2 |)

I det konkrete tilfælde haves

a=(a1,a2,a3) = (2,3,1), b = (t+5,6,2), og dermed

a x b = (0,t+1,-3(t+1))

og a x b er derfor nulvektoren - og a og b dermed parallelle - netop når t=-1.

Skriv et svar til: Rumgeometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.