Beskriv rette linier

b) du finder forskriften ved at ta 2 punkter på din linje. Derefter tegner du nogle hjælpelinjer ud til y-aksen fra begge punkter og også til x-aksen. Så bruger du denne formel:
y2-y1 / x2-x1 = a

Derefter finder du b, bare kig på skæringspunktet i y-aksen.

#0:
Hvor mange dimensioner arbejder du i?

Såfremt det er i R^2, kan hældningen på linjen beregnes ud fra to punkter (x_1,y_1) og (x_2,y_2) som

Dy/Dx = (y_2-y_1)/(x_2-x_1) [*]

hvor D betegner delta. Det er oplagt, at ligningen for en ret linje er på formen

y(x) = a*x + b [**]

hvor a er linjens hældning og b er konstantleddet, der angiver skæringen med andenaksen. Ved at indsætte [*] i [**] fås, at

y(x) = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)*x + b =>
b = y(x) - (y_2-y_1)/(x_2-x_1)*x

For (x,y(x)) = (x_1,y_1), kan b skrives som

b = y_1 - (y_2-y_1)/(x_2-x_1)*x_1 [***]

Nu har du et eksplicit udtryk for både a og b i form af [*] og [***], som du så kan indsætte i [**] for at bestemme linjen ligning.

Hvad forstår man ved en ret linie?
(definitionen)


Duffy

#3:
En linje er en lige, éndimensional figur, uden tykkelse og som strækker sig uendeligt langt i begge retninger.

Kilde:
http://mathworld.wolfram.com/Line.html

Hvad vil det sige at noget er 'lige'.



Duffy

At den stiger konstant, for hvergang x vokser med f.eks. 1

#5:
Hvis du har afsluttet matematik som bifag på universitetsniveau, så burde det ikke være det store problem for dig at finde ud af det!

En ret ligningen er altid propotional stigende...

og efter a er fundet vha. y1-y2 / x1-x2

så findes f(x)= ax+b således

y-y1= a (x-x1)

således er dette gjort

#5
Når talen falder på linier beskriver termen 'lige' den egenskab ved en linie, at den minimerer afstanden mellem punkterne på den. På differentiable mangfoldigheder er det geodæter der er 'lige'.

#5:
"Hvis du har afsluttet matematik som bifag på universitetsniveau,
så burde det ikke være det store problem for dig at finde ud af det!"

Måske, men jeg havde en lærer der var meget kryptisk omkring netop
dette kildne emne.

Nuvel, HR. lektieguru Dominik Hasek du smyger dig udenom spørgsmålet. Du er jo også på uni, hvad med om du kom med svaret?

Jah, jeg har til hudløshed hørt på vendingen

"en ret linie er en linie der ligger lige mellem punkterne på den" hvilket er
ALT for intuitivt.

Og at 'lige' da må være den korteste vej mellem to punkter. Men dette er alt for
diffust og u-matematisk for mig.

Jeg ønsker en krystal-klar definition.

Men måske er der ikke nogen definition. (Såvel som det ikke er muligt at
definere tid - vi kan ikke på nogen klar måde sige hvad tid er, men vi har dog
en god INTUITIV fornemmelse for det).



Duffy

#10:
``Måske, men jeg havde en lærer der var meget kryptisk omkring netop dette kildne emne.''

Og hvad har det så med sagen at gøre? Jeg skriver at du nemt burde kunne finde ud af at det -- ikke at du burde vide det på forhånd!

``hvad med om du kom med svaret?''

Og hvorfor vil du gerne have det, når fixer har svaret dig i #9? Jeg tvivle på, at du begyndte at skrive #10 inden fixer postede #9, så det er jo heller ikke fordi du ikke har set hvad han har skrevet.

Populariseret kan man sige at rette linier ikke defineres, de skabes.

Euklid's definition på en ret linie var - i min fordanskede udgave - at en ret linie er en linie, der ligger lige mellem sine punkter.

Men denne "definition" fører hurtigt til problemer. Man kan f.eks. forestille sig et regulært oktaeder. Enhver kant på oktaederet må så være en ret linie for den ligger lige mellem de to hjørner, der afgrænser kanten.

Men betragt så oktaederets omskrevne kugle. En storcirkel gennem 2 hjørner af oktaederet er en ret linie, thi den ligger jo også lige mellem de to hjørner.

Hvordan skal man vha Euklids definition kunne skelne om det er linierne på cirklen eller i en plan, der er rette?

Det kan man naturligvis ikke, for definitionen er gyldig for begge typer linier og iøvrigt uendeligt mange andre linier på andre flader; linier der også kunne tænkes at ligge lige mellem oktaederets hjørner.

Det var Gauss, der indså, at Euklids definition forudsætter, at et karakteristika ved de flader, der indeholder linierne, er kendt - nemlig det karakteristika, der forlener ordet "lige" med betydning. Dette karakteristika er krumningen.

Det er krumningen af den flade, man betragter, der afgør hvad en ret linie på denne flade er.

I den Euklidiske plan er krumningen overalt uendelig stor og rette linier bliver som vi kender dem. På en hyperboloide forholder det sig anderledes, og rette linier på en hyperboloide er _ikke_ de samme som dem i planen.

Kender man lidt til tensoranalyse og differentiable mangfoldigheder, kan tankerne formuleres stringent.

I en vilkårlig Riemann-mangfoldighed M defineres kurver, der kaldes geodætiske kurver.

Lad K:I->M være en differentiabel kurve, givet ved en naturlig parameterfremstilling. Tangentvektoren T=T(s) er da i ethvert punkt på kurven en enhedsvektor.

Kurven K kaldes en geodætisk kurve, eller geodæt, hvis tangentvektorfeltet T er et parallelfelt langs K, svarende til

dT/ds=0 (*)

hvor der i (*) er tale om den _absolut_ afledede af det kontravarient vektorfelt T.

Uden at gå alt for meget i detaljer skal nævnes at i et koordinatsystem (x_i) er (*) ensbetydende med ligningerne

d²x_k/ds²+{k,ij}dx_i/ds*dx_j/ds (**)

hvor {..} er Christoffelsymbolet af anden art, og der findes netop een løsning, der tilfredsstiller begyndelsesbetingelserne

x_i(0) = x_i_0
dx_i/ds(0) = T_i_0

I den sædvanlige Euklidiske plan/rum reducerer (**) til

d²x_k/ds² = 0

med løsningerne på formen

x_i=T_i_0*s+x_i_0

Den geodætiske kurve gennem punktet P(x_1_0,..,x_i_0,..,x_n_0) i retningen T_i_0*e_i [e_i enhedsvektor i retningen x_i] er derfor den rette linie gennem P med retningsvektor T_0.

En geodæt en at opfatte som en ret linie på den flade, hvopå den løber.

#12
kontravarient -> kontravariant.

En geodæt en at -> En geodæt er at

wow