Matematik

Rumgeometri - hjælp

13. februar 2006 af Alima (Slettet)

Godaften..
Jeg sidder med opgave 3.106 i MAT A-niveau 3-årig forløb.
Jeg har en kugle K og en plan alpha i rummet. Kuglen har centrum i punktet C og punktet P er projektionen af C på alpha. Planen skærer kuglen i en cirkel c.
I et koordinatsystem har kuglen og planen ligningerne:
K : x^2+y^2+z^2-4x-6y-4z=8
alpha: 2x+2y+z=3

Jeg skal så bestemme koordinatsættet til punkterne C og P. Af kuglens ligning får vi C's koordinater til at være (2,3,2)
Men jeg har prøvet at regne koordinatsættet til P, som er projektionen af C på alpha ved følgende:
P' = ((2,3,2)*(2,2,1)/(sqr(2^2+2^2+1^2)^2)*(2,2,1) = (4+6+2/sqr(9)^2)*(2,2,1) = (12/9)*(2,2,1)= (8/3,8/3,4/3)
Er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Det er vist noget af dette, du skal have fat i:

http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/3d.html#perspektiv

Som jeg umiddelbart ser det så benytter du formlen for projektionen af en vektor på en anden vektor. Dog er det ikke dette vi skal benytte her. Her er der derimod tale om projektion af punkt på plan.

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. februar 2006 af fixer (Slettet)

Omtalte projektion, der er foretaget, er et skridt på vejen.

Lad P betegne projektionen af C på alfa. Så gælder

CP = e*dist(C,alfa)

hvor e er en enhedsvektor normal på planen alfa og dist(C,alfa) er afstanden mellem punktet C og planen. Enhedsvektoren e kan bekvemt findes som

e = n/|n|

hvor n er den plannormal, der aflæses af ligningen for planen. Koordinaterne for punktet P bestemmes dernæst af indskudssætninge, ifølge hvilken

OP = OC + CP

Svar #3
15. februar 2006 af Alima (Slettet)

#2
Jeg har gjort du skriver.. Jeg har bestemt enhedsvektoren til at være (2,2,1)/sqr(2^2+2^2+1^2) = (2/3,2/3,1/3)

Og CP har jeg bestemt til at blive (2,2,1), (altså samme koordinat som normalvektoren til planen), betyder dette noget?

Jf. indskudsætningen OP = OC + CP, får jeg koordinaterne til P til at være:
OC = (2-0,3-0,2-0) = (2,3,2)
OC + CP = (2,3,2)+(2,2,1) = (4,5,3)

Dvs koordinatsættet til p bliver (4,5,3)

er dette korrekt?

Svar #4
15. februar 2006 af Alima (Slettet)

#3
C's koordinater har jeg bestemt i ved at betragte kuglens ligning i delspørgsmålet før.

men er altså ikke sikker på mit resultat i #3

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. februar 2006 af fixer (Slettet)

Det er ikke korrekt, for punktet P(4,5,3) tilhører ikke planen alpha.

Fejlen skyldes sikkert bemærkningen fra #2

CP = e*dist(C,alfa)

Det er faktisk følgende, der er det korrekte

PC = e*dist(C,alfa)

Dermed bliver

CP = -e*dist(C,alfa)

og man ender ud med P(0,1,1).

Koordinaterne for kuglens centrum C er korrekt bestemt.

Skriv et svar til: Rumgeometri - hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.