Matematik

MAT Universitet - flader

02. marts 2006 af llm (Slettet)

Jeg vil gerne høre om hvordan man generelt kan finde en parameterfremstilling r(u,v)for en flade?

Fx har jeg en flade, der er graf for en funktion af to variable.
Der er givet følgende:
z(x,y) = 2-x^2-y^2 og
x^2 + y^2

Hvad er så metoden til at opskrive parameterfremstillingen?

En anden som jeg synes er "sværere" er denne: Fladeintegral over en cylinderflade

Ledekurven er: x^2 + y^2 = 1 og
intervallet for z: [0,2].

Det skulle meget gerne give:
(1+cos(u), sin(v), v*sqrt(2+2*cos(u)).

Men hvordan? Håber nogen kan forklare.

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. marts 2006 af Sentinox (Slettet)

Hejsa.

Angående nummer 2:

Din parameterfremstilling er forkert!

Du har givet en ledkurve, som i xy-planen er en cirkel med radius 1.
Endvidere får du at vide at z in [0,2].

Din parameterfremstilling kunne f.eks. da være:

[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] =
[r*cos(v),r*sin(v),u], v in [0,2*Pi], u in [0,2]

Det er ikke nemt altid at opskrive en parameterfremstilling for en flade.
Har i evt. Maple til rådighed?

//Sentinox

Svar #2
02. marts 2006 af llm (Slettet)

Ja, vi har Maple til rådighed.

Ang. nummer 2:

Den løsning jeg har skrevet er rigtig -det er fra facitlisten til øvelesesopgaverne.

Men hvad gør man så i opg. 1?

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. marts 2006 af Sentinox (Slettet)

Mht. nummer 2, prøv at plotte den i maple:

>restart:with(plots):
>plot3d([1*cos(v),1*sin(v),u],v=0..2*Pi,u=0..2,axes=normal);

HVis jeg plottter din, får jeg ikke en cylinderflade?
Hvad er dine intervaller?

//Sentinox

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. marts 2006 af sigmund (Slettet)

#2:

Har du ikke byttet om på u og v (dette gælder for 1. og 3. koordinat) i #0?

Følgende parameterfremstilling er en cylinderflade:

[1+cos(v), sin(v), u*sqrt(2+2*cos(v))]

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. marts 2006 af sigmund (Slettet)

For at svare på dit første spørgsmål i #0:

x^2 + y^2

r(u,v) = (u*cos(v),u*sin(v)), (*)

hvor v gennemløber intervallet [0,2*pi] og u gennemløber intervallet [0,2].
Så har vi en flade givet ved ligningen z(x,y) = 2-x^2-y^2. Parameterfremstillingen for denne flade, med x^2 + y^2
Den søgte parameterfremstilling er så

r(u,v) = (u*cos(v),u*sin(v),2-u^2*cos(v)^2-u^2*sin(v)^2),

hvor u gennemløber [0,2] og v gennemløber [0,2*pi].

Dit andet spørgsmål:

x^2 + y^2 = 1 er ligningen for en cirkel med radius 1 og centrum i (0,0).
Eftersom du ikke oplyser andet om z end et interval, må vi gå ud fra at der er tale om cylinderen med parameterfremstillingen

r(u,v) = (cos(v),sin(v),u), hvor v gennemløber [0,2*pi] og u gennemløber [0,2].

Imidlertid stemmer dette ikke overens med facitlisten, så der er noget du ikke har fortalt os om fladen.

Svar #6
02. marts 2006 af llm (Slettet)

Facitlisten siger:

(1+cos(u), sin(v), v*sqrt(2+2*cos(u)), hvor u E [0,2pi] og v E [0,1]

De har blot byttet om på u og v...

Jeg manglede at oplyse, at funktionen er (z^2+x^2).

Ellers er det alle oplysninger.

Svar #7
02. marts 2006 af llm (Slettet)

HEHEHEHHE det må I sgu undskylde - jeg har kigget forkert.

Ellers tak!

Svar #8
02. marts 2006 af llm (Slettet)

Mit spørgsmål er så:

Hvordan kan I se, at den er:
r(u,v) = (cos(v),sin(v),u)?

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. marts 2006 af sigmund (Slettet)

Jeg er forvirret i øjeblikket. Kan du ikke skrive hele opgaven her.

Svar #10
02. marts 2006 af llm (Slettet)

jeg tænker på, hvorfor det ikke er:

r(u,v) = (u*cos(v), u*sin(v),u)?

Og hvorfor er z(u,v)=u?

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. marts 2006 af sigmund (Slettet)

#9 er et svar til #6.

#8:

"Hvordan kan I se, at den er:
r(u,v) = (cos(v),sin(v),u)?"

"Den" er så parameterfremstillingen for en cylinder (du mangler dog at angive intervallet for u hhv. v)?

Hvordan "ser" vi at en cylinder har en parameterfremstilling som angivet ovenfor?

Først spørger man sig selv: hvad er en cylinder? (Hvordan skal jeg forklare det her?)

Forestil dig at du har en cirkel nede på jorden. Denne cirkel løfter du så en vis afstand lodret op fra jorden. Hvis du har lavet en anordning der gør at cirklen efterlader sig spor, så kan du se en cylinder.

Det første skridt i at lave en parameterfremstilling for cirklen er at lave en parameterfremstilling for cirklen på jorden (i xy-planen). Som bekendt er r(u,v) = (cos(v),sin(v),0) en parameterfremstilling for cirklen i xy-planen. I højden 1 er en parameterfremstilling for cirklen så

r(u,v) = (cos(v),sin(v),1).

Nu er det således at vi, for at få fremstillet en cylinder, skal have tegnet alle cirkler i intervallet [0,1].

En parameterfremstilling for en cylinder er således

r(u,v) = (cos(v),sin(v),u),

hvor v gennemløber [0,2*pi] (for at få hele cirklen med) og u (i tråd med eksemplet ovenfor) gennemløber [0,1].

Svar #12
02. marts 2006 af llm (Slettet)

Jo, vi tager den helt forfra ;-)

Fladeintegral over en cylinderflade:

Ledekurven er: x^2 + y^2 = 1 og
intervallet for z: [0,2].
Fladeintegralet er: S (z^2 + x^2) dS

Problemet er først at opskrive parameterfremstillingen for fladen, som jeg er usikker på hvordan man gør.

Hvorfor er den:
r(u,v) = (cos(v), sin(v), u)?

Jeg tænker på, hvorfor det ikke er:
r(u,v) = (u*cos(v), u*sin(v),u)?
Og hvorfor er z(u,v)=u?

Mange tak.

Svar #13
02. marts 2006 af llm (Slettet)

okay jeg har lige læst #11, men hvad
bruges intervallet z E[0,2] til?

Svar #14
02. marts 2006 af llm (Slettet)

jeg tror jeg har forstået det;)

tak

Skriv et svar til: MAT Universitet - flader

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.