Matematik

Projektioner af punkter i R^3

10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Hmm, jeg er blevet bedt om at finde koordinatet til punktet C, som er projektionen af B(7,5,14) på planen alpha (3x+2y+6z-17=0), men jeg synes ikke at kunne finde nogen formel for dette i hverken min bog eller formelsamling?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. marts 2006 af allan_sim

#0.
Hvis nu du kunne finde en linje, der står vinkelret på planen, hvor B ligger på linjen, så må C være skæringspunktet mellem denne linje og planen alpha.

Svar #2
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Så jeg skal finde en normalvektor til alpha, hvori punktet B forefindes, og det sted på alpha, hvorfra normalvektoren udgår, er det ønskede koordinat?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. marts 2006 af allan_sim

#2.
Nu ved jeg ikke, hvad du mener med, at B findes i forefindes i normalvektoren.

Men ja - hvis du bruger en normalvektor til alpha som retningsvektor for den linje, der indeholder punktet B, så kan du finde skæringspunktet ved at sætte linjens parameterfremstilling ind i planens ligning.

Svar #4
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Rent matematisk forstår jeg ikke, hvorledes jeg lige finder den ene linie - der er jo principielt uendeligt mange linier, der indeholder punktet B?

Iøvrigt har jeg tidligere i opgaven fundet ligningen for planen alpha udfra et punkt A(1,-5-4) og en vektor v(3,2,6) - kan jeg eventuelt bruge dette til noget i denne forbindelse?

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. marts 2006 af allan_sim

#4.
Men linjen gennem B skal jo stå vinkelret på planen - det er derfor, at du kan bruge en normalvektor for alpha som retningsvektor i parameterfremstillingen - og en sådan kan du jo aflæse direkte af planens ligning.

For at opskrive parameterfremstillingen har du blot brug for et punkt (B) og en retningsvektor (n_alpha).

Svar #6
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Ok, nu håber jeg ikke at jeg er besværlig, men jeg er i tvivl om jeg har forstået det korrekt.

En normalvektor for planen alpha er n = (3,2,6), og denne er retningsvektor for parameterfremstilling, om hvilken der står vinkelret på alpha og som går igennem B. Punktet B kender jeg, og parameterfremstillingen finder jeg udfra disse to oplysninger. Hvorledes finder jeg så punktet udfra disse oplysninger.

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. marts 2006 af allan_sim

#6.
Du er med så langt :-)

Punktet C er nu skæringspunktet mellem denne linje og planen. Derfor kan du sætte parameterfremstillingen for linjen ind i lignigen for planen. På den måde får du reduceret til én ligning med én ubekendt (nemlig parameteren). Løs denne for at finde parameterværdien for skæringspunktet og sæt ind i parameterfremstillingen for at finde koordinatsættet.

Svar #8
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Ok, jeg forsøger her:

Parameterfremstillingen for linien er (x,y,z) = (7,5,14) + t(3,2,6), t E R.

Ved indsættelse i planens ligning 3x+2y+6z-17=0 fås hermed:

3(7+3t) + 2(5+2t) + 6(14+6t) - 17 = 0, hvor jeg får t = -2

Ergo bliver koordinatsættet (1,1,2)?

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. marts 2006 af allan_sim

#8.
Lige præcis :-)

Skriv et svar til: Projektioner af punkter i R^3

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.