Matematik

Redegør for cirklens tangent

21. maj 2006 af Molle (Slettet)

Redegør for, at linjen l er tangent til cirklen C:

C:(x-3)² + (y-0)² = 4

l: y = (3/4)x + 1/4

Hvorledes skal denne opgave gribes an?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. maj 2006 af Raphson (Slettet)

Hmm, du kunne finde ud af, hvor linien l og cirklen C skærer hinanden, og dette punkt kalder vi Q. Find så et punkt på linien l, som vi kalder P, hvorefter vi ved, at vektor QP skal være ortogonal på vektor QC, hvorfor deres prikprodukt skal være lig nul

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. maj 2006 af dnadan (Slettet)

indsæt l i ciklens ligning:
C:(x-3)² + ((3/4)x + 1/4-0)² = 4
Hvis du kun får en løsning betyder det dermed at linjen l kun skærrer cirklen en gang, og dette betyder så at der er tale om en tangent...

Svar #3
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

Dvs. at jeg egentlig kun behøver af få d = 0 for at have gjort rede for at den er tangent - jeg behøver ikke at løse mere?

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. maj 2006 af vag (Slettet)

Brug dnadans forslag.

Ikke fordi Raphson ikke har ret som sådan, men hvis man ikke har A-niveau matematik (og det tyder opgaven ikke på) så er det rent volapyk.

Desuden skal tangentlinien i P være ortogonal med linien fra centrum af cirklen til P. Dvs. at de to hældningskoefficienter multipliceret med hinanden skal give -1.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. maj 2006 af dnadan (Slettet)

#3 nej ikk hvis du kun skal gøre rede for det, du skal selvfølgelig lige lave en lille forklaring osv..:)

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. maj 2006 af tanja007 (Slettet)

Du kunne også båre finde afstanden fra centrum til linjen, hvis den er 2, er linjen tangent.
men ja hvis d=o er der kunen løsning, et skringspunkt, og linjen er tangent.

Svar #7
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

En linje m med positiv hældningskoefficient skærer enhedscirklen i A(-1,0) og er tangen til cirklen C.

C: (x-3)² + (y-0)² = 4

Linjen skærer også enhedscirklen i P.
Beregn koordinatsættet til P.

Her er jeg fuldstændig på bar bund.

Svar #8
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

#4 Det er skam A-niveau, men dog kun 1.g :)

Er den ikke nødt til at være vinkelret på radius, hvis den kun skærer cirklen ét sted?

Mange tak for hjælpen til jer alle!!

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. maj 2006 af dnadan (Slettet)

Den er ikk vinkelret på radius, men vinkelret, på sidestykket |CB| B er tangentens skærring med cirklen...

Svar #10
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

Ja, ok - som har samme længde som radius :)

Kan I hjælpe med #7?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. maj 2006 af dnadan (Slettet)

Længden er uvigtig... det vigtigste er hældningen på den linje...

Svar #12
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

Jep, jeg har forstået det. Hældningernes produkt skal være -1. Min brug af "radius" var forket. Forskellen er, at radius jo går hele vejen rundt og derfor ikke er at betegne som en linje.

Vil helst ikke flytte fokus for meget fra mit spørgsmål i #7.

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. maj 2006 af ibibib (Slettet)

Der er muligvis en simpel geometrisk løsning til denne opgave. Jeg kan dog ikke se den...

Men, hvis du har lavet en skitse, har du en retvinklet trekant ACP, hvor C er centrum for C.
Hypotenusen har længden 4
Kateterne har længderne 1 og (beregnes) sqrt(15).

Det betyder at linjens hældning er a=1/sqrt(15).

Du skal argumentere for at a=b og derefter sætte ind i ligningen for enhedscirklen.

Jeg har beregnet P's koordinatsæt til (0.875, 0.484).

Brugbart svar (0)

Svar #14
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

#7

l: y=ax+b går gennem A(-1,0) så
0=-a+b <=> a=b
Dvs, at y=ax+a=a(x+1)

Da linien er tangent til cirklen med centrum C(3;0) og radius 2 er
dist(C,l)= 2 = (|ax1+b-y1|)/sqrt(a^2+1)
= (3a+a)/sqrt(a^2+1)
<=>
2sqrt(a^2+1)=4a
<=>
(a^2+1)=4a^2
<=>
1=3a^2
<=>
a=sqrt(1/3) (da a er positiv)

Dvs, at y=sqrt(1/3)(x+1)
Denne ligning indsættes i ligningen for enhedscirklen x^2+y^2=1

x^2+(sqrt(1/3)(x+1))^2=1
<=>
x^2+1/3(x^2+2x+1)=1
<=>
4x^2+2x+1=3
<=>
x=-1 eller x=1/2 (løs som 2.grads)

Når x=-1/2 er y=sqrt(1/3)(1+1/2) = sqrt(3)/2.

P er derfor (1/2 ; sqrt(3)/2)

Brugbart svar (0)

Svar #15
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

#13

Hvorfor mener du, at ACP er retvinklet?

Jeg vil gætte på, at du har tænkt på P som et tangentpunkt på den store cirkel - ikke enhedscirklen. I så fald ville trekanten være ret (men med kateden 2), men ikke direkte sige noget om a.

Svar #16
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

Svar #17
21. maj 2006 af Molle (Slettet)

arh!

Fordi C(3,0) (som du selv har skrevet)

|ax1+b-y1| = |a*3+a-0| = |3a+a|

Brugbart svar (0)

Svar #18
21. maj 2006 af ibibib (Slettet)

#15
Det har du ret i. Den store cirkel har jo radius 2...
Men så er den anden katete sqrt(12) og a=2/sqrt(12)=1/sqrt(3) som du allerede har beregnet.

Svar #19
23. maj 2006 af Molle (Slettet)

Puuha, den blev lang.

Nu skal I se, hvad jeg gjorde.

Jeg kalder punktet, hvor m tangerer C_2 (den store cirkel) for Q.
Jeg har en retvinklet trekant.
Hypotenusen:
A = (-1,0), B = (3,0)
|AB| = 4

Kateder:
|BQ| = 2
|AQ|

Jeg kan nu finde vinklen som m skærer x-aksen med og derefter hældningskoefficienten:

sin(v) = |BQ|/|AQ| = 2/4
v = sin^(-1)(2/4) = 30
a = tan(30) = sqrt(3)/3

Vi har været inde på ligningen for m:
y = ax+a = a(x+1) = (sqrt(3)/3)*(x+1)

Indsat i enhedscirklen:

x² + y² = 1

x² + ((sqrt(3)/3)*(x+1))² = 1
Rødder:
x = -1 V x = 1/2

Vi har jo -1 i forvejen, så vi skal bruge 1/2

Indsættes i m's ligning:
y = (sqrt(3)/3)*(1/2+1) = sqrt(3)/2

P(1/2, sqrt(3)/2)

Og jeg takker alle for hjælpen!

Svar #20
23. maj 2006 af Molle (Slettet)

Arh, skal sgu lige have jeres ekspertise på banen igen.

Rumfanget af en keglestub er givet ved:

V = (1/3)*pi*h(R²+r²+R*r)

Der er netop én keglestub med rumfang 800 hvorom det gælder at r = h-2 og R = 2h-4

Bestem h, r og R for denne keglestub.
Jeg må benytte en grafregner der kan det samme som en TI83, men ved alligevel ikke, hvordan jeg skal komme i gang her.

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.