Matematik
Rod og potens. Ligninger med rod og potens.
Jeg skal op i mat., og har fået følgende spørgsmål stillet:
"Du skal sandsynliggøre gyldigheden af potensregnereglerne for potenser med naturlig eksponent og indføre de nødvendige definitioner og begrænsninger for at kunne udvide potensreglerne til at gælde for alle reelle eksponenter."
Jeg ved bare ikke hvordan jeg skal løse dette spørgsmål. Er der nogen, der kan hjælpe?
Svar #1
11. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)
Indfør ln(x) som stamfunktion til 1/x, definer exp(x) som omvendt funktion til ln(x), definer tallet e som exp(1), vis at exp(n)=e^n, definer exp(x)=e^x, og definer så a^x som e^(x*ln(a)).
Svar #2
11. juni 2006 af mathon
vil sige med heltallig eksponent
her tænkes på reglerne
a^n*a^m=a^(n+m)
man multiplicerer to potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenterne.
a^n:a^m=a^(n-m)(der kan jo forkortes m a'er bort på brøkstregen)
Man dividerer to potenser med samme rod ved subtrahere nævnerens eksponent fra tællerens.
(a^m)^p=a^(m*p)
man oplæfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og multiplicere eksponenterne.
Svar #3
11. juni 2006 af mathon
Fra behandlingen af eksponentialfunktioner ved du,
at
exp_a(x)=exp(x*ln(a))
eller
skrevet sådan
a^x=e^(x*ln(a)),
så hvis x E R,
må a "indskrænkes" til at tilhøre R+,
da
Dm(ln)=R+
ALTSÅ hvis a^x ønskes med reel eksponent er a begrænset til at tilhøre R+,
da
ln: R+ --> R
Svar #4
11. juni 2006 af faha (Slettet)
Når du siger at jeg skal indfør ln(x) som stamfunktion til 1/x, hvad mener du så?
Udskyld mig, men jeg er lidt langsom til at forstå ting.
Svar #5
11. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)
S x^n dx = [x^(n+1)]/(n+1) + k
...altså at en stamfunktion til x^n er [x^(n+1)]/(n+1). Denne formel holder for alle n, bortset fra n=-1, idet vi her får en division med 0 når vi sætter ind i formlen.
Men da man kan vise, at alle funktioner der er kontinuerte i et interval må have en stamfunktion i dette interval (og x^(-1) er kontinuert i ]0;inf[), må vi på en eller anden måde kosntruere os frem til en stamfunktion. Her vælger man så at definere en ny funktion, ln(x), på følgende måde:
ln'(x) = x^(-1)
ln(1) = 0
Dm(ln) = R+
Svar #6
11. juni 2006 af mathon
5^9*5^3=5^(9+3)=5^12
5^9:5^3=5^(9-3)=5^6
(5^9)^3=5^(9*3)=5^27
og
5^9.3=e^(9.3*ln(5))=3.16534*10^6
det sidste var måske lidt stort et tal. Men det var for at benytte de samme cifre.
nok et:
4^2.3=e^(2.3*ln(4))=24.2515
Hvad nu med udledelsen af potensreglerne med reel eksponent:
her anvender du logaritmer
og anvender, at
når
ln(a)=ln(b) <=> a=b
it goes
ln(a^n*a^m) =ln(a^n)+ln(a^m)=n*ln(a)+m*ln(a)=(n+m)ln(a)
=ln(a^(n+m))
altså
ln(a^n*a^m) = ln(a^(n+m)) <=>
a^n*a^m = a^(n+m)... osv.
reglerne er naturligvis de samme for hel og for reel eksponent, men man er tvunget til at BEVISE det forskelligt.
Skriv et svar til: Rod og potens. Ligninger med rod og potens.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.