Cirkel formel

Et forslag kunne være at udregne planintegralet af dem konstante funktion 1 over en cirkelflade med radius r og centrum (0,0) og så derefter vise at arealet er translationsinvariant. (På samme måde med en ellipse).

Andre forslag?

Hmm, jeg kommer til at tænke mig om, og det kan være at det bliver lidt svært at vise ovenstående.

I stedet tror jeg at man tager lebesgue målet på sådan en cirkel, og så approximerer arealet med kasser... (mine notater ligger på universitet, men jeg kan lige se på det i morgen).

#2 - det lyder lidt kryptisk..?

Jeg ville bare skifte til polære koordinater, r^2=1 (for enhedscirklen). Så er

areal=int_0^2*Pi {int_0^1 {r}} dr dv=pi.

Det generelle resultat er helt analogt. Det kan også klares i rektangulære koordinater, men så skal man ud i noget omvendt substitution.

For ellipsen gør man tilsvarende, blot tror jeg direkte integration er nemmest her. Den direkte udregning (vha. omvendt substitution) beskrives på

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

At drive et bevis kræver jo altid, at man gør sig sine forudsætninger klart: hvad vil man acceptere at tro på inden argumentationen går igang?

#1 tror jeg ikke dur, fordi man integrerer et 1-tal over en cirkel - men det forudsætter at man kender - dirkelens areal. Men det var jo det vi skulle finde. Så her har vi valgt at tro på for meget.

#2 er ikke egnet til en HH'er. Såvel Lebesgue-integralet som det med translationsinvariansen (dybest set at en cirkel ikke ændrer areal selv om man flytter på den) kan lidt frækt, indrømmet, siges at være et svaret på den paranoia-epidemi, der bredte sig i matematikken i kølvandet på de grundlagsproblemer, det vel startede med at de reelle tal fik axiomer, og som skabte et (velbegrundet) behov for at kontrollere og eftervise alting. Så her har vi valgt nærmest ikke at tro på noget som helst, og det er for lidt...

# 3 er en god indgang - men det er måske lidt i overkanten med et dobbelt integral. Og så ville jeg foretrække at integrere i den omvendte rækkefølge.

Men en modificeret #3'er: lad os enes om, at vi tror på at en cirkel omkreds o(r)er givet ved

o(r) = 2*pi*r.

Så kan der argumenteres for, at arealet A(r) svarende til r er givet ved

A(r) = int_0^r( o(s) )ds = int_0,^r( 2*pi*r )dr =
[pi*s^2]_s=0,^s=r =
pi*r^2.

Hvis du så ikke vil tro på, at o(r) = 2*pi*r, så er det nødvendigt med 404error's ekstra integration:

o(r) = int_0^2pi(r)ds =
[r*s]_s=0,^s=2pi = 2*pi*r.

Men denne integration forudsætter, at vi ved, at en cirkelbevægelse med vinkelhastighed 1 og radius r resulterer i en fart på r ude på periferien - og hvor ved vi så det fra? Sådan kan det blive ved...

Ups, integralet for A skal læses:

A(r) = int_0^r( o(s) )ds = int_0,^r( 2*pi*s )ds =
[pi*s^2]_s=0,^s=r =
pi*r^2.

Endelig kan man vælge at acceptere, at

Int(kvrod(a^2 - x^2))dx =
x/2*kvrod(a^2 - x^2) + (a^2/2)*arcsin(x/a) + c,

for a>0. Med den kan man simpelt hen bare integrere cirkelbuen fra -r til r (cirkel med centrum i (0, 0) og radius r) og få det halve areal. Hvis man IKKE tror på denne formel, så må man eftervise den, og det er sikkert det 404error mener med omvendt substitution

Mange tak for alle de fine besvarelser. Lige den hjælp jeg havde håbet på.

Kristian