Funktioner "uden" stamfunktion

Interessant spørgsmål.

Det eneste bevis jeg i farten kan ryste sammen er forholdsvis kompliceret og kræver kendskab til differentiallegemer, udvidelseslegemer, meromorfe funktioner og Liouville's teorem. Selv i skitseform er det for langt og umuligt at poste i dette forum.

Liouville's sætning siger at givet en elementær funktion f i et elementarlegeme K, så kan en stamfunktion til f udtrykkes ved elementarfunktioner hviss der findes fra nul forskellige tal c_1,...,c_n E C, fra nul forskellige funktioner g_1,...,g_n E K og et h E K sådan at

f = \\sum_{j=1}^{n}c_j\\frac{g_j^{\\prime}}{g_j} + h^{\\prime}. En stamfunktion til f udtrykt ved elementarfunktioner er da \\sum c_j\\log(g_j) + h.

For f=exp(-x²) betyder det at K=C(x,exp(-x²)) og at en stamfunktion udtrykt ved elementarfunktioner nødvendigvis må have formen \\sum c_j\\log(g_j) + h, h E C(x,exp(-x²)), c_j E C, g_j E C(x,exp(-x²)).

Sætningen kan bevises ved at betragte differentiallegemer.

Det er langt fra at være ved vejs ende,
for vi kan ikke spå om h og g_j'erne findes eller ej. Man kan dog ved yderligere, lange overvejelser indsnævre formen på en eventuel elementar stamfunktion endnu mere, så problemet bliver enklere at behandle.

Men udfra Liouville's sætning er det direkte muligt at vise at alle elliptiske integraler ikke kan udtrykkes ved de sædvanlige funktioner.

#0:
Det er et ganske kompliceret bevis (jeg har aldrig selv set det). Prøv at send mig en mail, så skal jeg give dig en e-mailadresse på en, som med garanti kan hjælpe dig -- jeg vil ikke afsløre hans adresse for alle og enhver, så han ikke bliver spammet af en masse spørgsmål.

#1:
Jamen dog; der var du endnu engang hurtigere, og med et brugbart svar!

Wow, tusind tak til jeg begge. Jeg prøver lige at få kompileret fixer's LaTeX-kode og lave et par wiki-opslag, kan være jeg kan få et mindstemål af forståelse. Har sendt en mail, Dominik.

Forresten endte hele hjemmeopgave-kontroversen med at vores lærer måtte erkende, at hun havde lavet en skrivefejl...