Matematik
Vektorer
17. september 2006 af
EmmaNora (Slettet)
Opg. 3.070
Der er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt 0. To vektorer a og b er bestemt ved
a(3,9) og b(cos(t),sin(t)), t tilhører [0:2pi)
Et punkt P er bestemt ved OP=a+2b
Bestem tallet t, således at afstanden fra punktet p til linjen med ligningen
y=1/2x +6
er mindst mulig
jeg er helt på herrens mark, hvordan skal jeg begynde?
Der er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt 0. To vektorer a og b er bestemt ved
a(3,9) og b(cos(t),sin(t)), t tilhører [0:2pi)
Et punkt P er bestemt ved OP=a+2b
Bestem tallet t, således at afstanden fra punktet p til linjen med ligningen
y=1/2x +6
er mindst mulig
jeg er helt på herrens mark, hvordan skal jeg begynde?
Svar #1
17. september 2006 af Bozack (Slettet)
Haha hvor sjovt :D jeg har lige lavet den opgave i en aflevering!
Du skal bruge formelen for afstanden fra et punkt til en linie. Den vektor OP du har dig er også et punkt, da det er en stedvektor (den starter jo i 0,0), da OP er givet som a+2b må den hedde (nu skriver jeg lige vektorerne som koordinater i stedet for vektorer, kan jo ikke komme til andet her..):
OP = a+2b = (3,4) + 2 (cos(t),sin(t)) = (3+2*cos(t),4+2*sin(t))
Afstandsformelen hedder som følger:
dist = |ax + b - y| / kvadratrod(a^2 + 1)
Og du kan så sætte a og b ind fra den ligning du har fået og x og y ind fra din vektor OP.
Dette giver en funktion dist(t), som vil hedde:
dist(t) = (7/2 + cos(t) - 2 * sin(t)) * 1/kvadratrod(1,25)
Du skal finde ud af hvornår denne funktion er på sit mindste, så afstanden imellem punktet og linien er mindst mulig, derfor skal du differentiere funktionen og finde nulpunkter (deraf ekstrema i dist(t)). Den differentierede afstandsfunktion må blive:
dist'(t) = -0,8944 * sin(t) - 1,78885 * cos(t)
Nulpunkter:
dist'(t) = 0 <=> t = 2,03444
(Da det er en harmonisk svinging skal man lige arbejde lidt rundt med at lægge Pi til t for at få det rigtige nulpunkt der ligger i dit interval, jeg har her bare vist den rigtige løsning.)
Du kender nu t for din vektor OP, og dermed dit punkt P, der er tættest muligt på linien :)
Du skal bruge formelen for afstanden fra et punkt til en linie. Den vektor OP du har dig er også et punkt, da det er en stedvektor (den starter jo i 0,0), da OP er givet som a+2b må den hedde (nu skriver jeg lige vektorerne som koordinater i stedet for vektorer, kan jo ikke komme til andet her..):
OP = a+2b = (3,4) + 2 (cos(t),sin(t)) = (3+2*cos(t),4+2*sin(t))
Afstandsformelen hedder som følger:
dist = |ax + b - y| / kvadratrod(a^2 + 1)
Og du kan så sætte a og b ind fra den ligning du har fået og x og y ind fra din vektor OP.
Dette giver en funktion dist(t), som vil hedde:
dist(t) = (7/2 + cos(t) - 2 * sin(t)) * 1/kvadratrod(1,25)
Du skal finde ud af hvornår denne funktion er på sit mindste, så afstanden imellem punktet og linien er mindst mulig, derfor skal du differentiere funktionen og finde nulpunkter (deraf ekstrema i dist(t)). Den differentierede afstandsfunktion må blive:
dist'(t) = -0,8944 * sin(t) - 1,78885 * cos(t)
Nulpunkter:
dist'(t) = 0 <=> t = 2,03444
(Da det er en harmonisk svinging skal man lige arbejde lidt rundt med at lægge Pi til t for at få det rigtige nulpunkt der ligger i dit interval, jeg har her bare vist den rigtige løsning.)
Du kender nu t for din vektor OP, og dermed dit punkt P, der er tættest muligt på linien :)
Skriv et svar til: Vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.