Matematik
Kendetegn ved vektorfunktioner med dobbeltpunkt
21. oktober 2006 af
Æ-bet-pot-man (Slettet)
Dav
Jeg har fået stillet en opgave hvor jeg skal designe et svømmebassin.
Det skal gøres på den måde at svømmebassinet skal være afgrænses af en vektorfunktion med et dobbeltpunkt (så banekurvens løkke bliver omkredsen af bassinet).
Der er desuden nogle krav til vektorfunktionen. Både 1. og 2. koordinatfunktionen skal være polynomier. Det ene skal mindst være af 2.grad og det andet skal mindst være af 3. grad. (så der røg muligheden for at benytte sig af sammensatte funktioner med sinus og cosinus :-( )
Jeg er, ved at prøve mig frem med forskellige vektorfunktioner, kommet frem til at banekurven får et dobbeltpunkt, hvis den ene koordinatfunktion er af formen:
x(t) = A*t^2 + B*t + k1
og den anden er af typen
y(t) = C*t^3 - E*t + k2
x(t) og y(t) er ikke nødvendigvis hhv. 1. og 2. koordinatfunktionerne, det kan godt være byttet om, man får stadig en banekurve med et dobbeltpunkt. Konstanterne k1 og k2 er reele tal der bestemmer koordinaterne til banekruvens startpunkt (t=0). Koefficienterne A, B og C er ligeledes reelle tal (for A og C dog ikke nul). Koefficienten E skal være et positivt reelt tal og B skal være noget mindre end E (meget løs definition - jeg ved det, og beklager, det er blandt andet det du gerne må hjælpe med). Hvor meget mindre ved jeg dog ikke, jeg kan bare sige at det virker f.eks. når B er 3 og E er 20, og ved B = 0 og E = 4, samt flere.
Mit spørgsmål er så om der er nogen der kan præciserer min definition af en vektorfunktion med et dobbeltpunkt så den bliver noget mere generel, eller har kendskab til en side på nettet hvor de har en sådan definition? Eller bare kan give mig nogle kendetegn, som vektorfunktioner med dobbeltpunkter har?
Jeg har selv googlet lidt rundt på det store net og har prøvet wikipedia og MathWorld, men har ikke fundet noget - i hvert fald ikke noget jeg kunne forstå.
På forhånd mange tak for hjælpen
Jeg har fået stillet en opgave hvor jeg skal designe et svømmebassin.
Det skal gøres på den måde at svømmebassinet skal være afgrænses af en vektorfunktion med et dobbeltpunkt (så banekurvens løkke bliver omkredsen af bassinet).
Der er desuden nogle krav til vektorfunktionen. Både 1. og 2. koordinatfunktionen skal være polynomier. Det ene skal mindst være af 2.grad og det andet skal mindst være af 3. grad. (så der røg muligheden for at benytte sig af sammensatte funktioner med sinus og cosinus :-( )
Jeg er, ved at prøve mig frem med forskellige vektorfunktioner, kommet frem til at banekurven får et dobbeltpunkt, hvis den ene koordinatfunktion er af formen:
x(t) = A*t^2 + B*t + k1
og den anden er af typen
y(t) = C*t^3 - E*t + k2
x(t) og y(t) er ikke nødvendigvis hhv. 1. og 2. koordinatfunktionerne, det kan godt være byttet om, man får stadig en banekurve med et dobbeltpunkt. Konstanterne k1 og k2 er reele tal der bestemmer koordinaterne til banekruvens startpunkt (t=0). Koefficienterne A, B og C er ligeledes reelle tal (for A og C dog ikke nul). Koefficienten E skal være et positivt reelt tal og B skal være noget mindre end E (meget løs definition - jeg ved det, og beklager, det er blandt andet det du gerne må hjælpe med). Hvor meget mindre ved jeg dog ikke, jeg kan bare sige at det virker f.eks. når B er 3 og E er 20, og ved B = 0 og E = 4, samt flere.
Mit spørgsmål er så om der er nogen der kan præciserer min definition af en vektorfunktion med et dobbeltpunkt så den bliver noget mere generel, eller har kendskab til en side på nettet hvor de har en sådan definition? Eller bare kan give mig nogle kendetegn, som vektorfunktioner med dobbeltpunkter har?
Jeg har selv googlet lidt rundt på det store net og har prøvet wikipedia og MathWorld, men har ikke fundet noget - i hvert fald ikke noget jeg kunne forstå.
På forhånd mange tak for hjælpen
Svar #1
21. oktober 2006 af fixer (Slettet)
Det er faktisk meget nemt at konstruere en sådan parameterfremstilling.
Man starter med først at vælge en definitionsmængde I for parameteren. F.eks I=[-1,1].
Vi vælger nu, at abscissefunktionen f(t) skal være et 2. grads polynomium. For at sikre at den endelige kurve bliver en løkke må vi forlange at f antager samtlige værdier i sin værdimængde to gange, eksempelvis ved at den for t voksende fra -1 til 1 først vokser fra sin mindsteværdi til sin størsteværdi og dernæst atter aftager til sin mindsteværdi. Rent intuitivt bevirker kravet at x-koordinaten "kører frem og tilbage". Helt nærliggende er det derfor at betragte et 2. grads polynomium der har rod i t=-1 og t=1 er dermed max (eller min, afhængigt af fortegnet) i t=0. Vi kan f.eks. vælge
f(t) = -(t-1)(t+1) (1)
Når t gennemløber intervallet -1 til 1 vil f vokse monotont fra 0 til 1 og dernæst aftage monotont fra 1 til 0. Den endelig kurve vil derfor have x-koordinater i intervallet [0,1].
Oordinatfunktionen g(t) vælges som et 3.grads polynomium. Også her skal man sikre sig at g antager samtlige værdier i sin værdimængde mindst to gange. Desuden skal man sikre sig at der opstår et dobbeltpunkt. Vi kan til eksempel udse os t=-1 og t=1 til at skulle være dobbeltpunkt. Da f(-1)=f(1)=0 skal også g(-1)=g(1)=0, d.v.s. -1 og 1 skal være rødder i g. Den sidste reelle rod i g kan du vælge arbitrært, men den er bestemmende for løkkens orientering og hvor langstrakt den er. Et pænt valg er
g(t) = (t-1)(t+1)t
Man starter med først at vælge en definitionsmængde I for parameteren. F.eks I=[-1,1].
Vi vælger nu, at abscissefunktionen f(t) skal være et 2. grads polynomium. For at sikre at den endelige kurve bliver en løkke må vi forlange at f antager samtlige værdier i sin værdimængde to gange, eksempelvis ved at den for t voksende fra -1 til 1 først vokser fra sin mindsteværdi til sin størsteværdi og dernæst atter aftager til sin mindsteværdi. Rent intuitivt bevirker kravet at x-koordinaten "kører frem og tilbage". Helt nærliggende er det derfor at betragte et 2. grads polynomium der har rod i t=-1 og t=1 er dermed max (eller min, afhængigt af fortegnet) i t=0. Vi kan f.eks. vælge
f(t) = -(t-1)(t+1) (1)
Når t gennemløber intervallet -1 til 1 vil f vokse monotont fra 0 til 1 og dernæst aftage monotont fra 1 til 0. Den endelig kurve vil derfor have x-koordinater i intervallet [0,1].
Oordinatfunktionen g(t) vælges som et 3.grads polynomium. Også her skal man sikre sig at g antager samtlige værdier i sin værdimængde mindst to gange. Desuden skal man sikre sig at der opstår et dobbeltpunkt. Vi kan til eksempel udse os t=-1 og t=1 til at skulle være dobbeltpunkt. Da f(-1)=f(1)=0 skal også g(-1)=g(1)=0, d.v.s. -1 og 1 skal være rødder i g. Den sidste reelle rod i g kan du vælge arbitrært, men den er bestemmende for løkkens orientering og hvor langstrakt den er. Et pænt valg er
g(t) = (t-1)(t+1)t
Skriv et svar til: Kendetegn ved vektorfunktioner med dobbeltpunkt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.