hvad hedder et uendeligt tal?

Irrationale tal...

Nøjes med een tråd om samme emne.

Et tal med uendelig decimalbrøksfremstilling er ikke det samme som et uendeligt stort tal. Tallet pi er jo ikke uendeligt stort, men dets decimalfremstilling har uendeligt mange cifre.

Betegnelsen irrational er heller ikke korrekt. Eksempelvis har det rationale tal 2/7 jo også en uendelig decimalfremstilling.

Kan vi komme nærmere end dette: pi er et irrationelt reelt tal? Det som #0 efterlyser, er en fælles betegnelse for irrationelle reelle tal. Jeg kender ikke til en sådan, og jeg tror heller ikke, at den findes.

(Pause.)

Efter opslag på MathWorld, er jeg kommet frem til at pi er et reelt transcendentalt tal. Betegnelsen transcendental udelukker der rationelle tal med uendelig decimalbrøk. Da alle irrationelle reelle tal også er transcendentale reelle tal, kommer pi ind under denne betegnelse.
Derfor må svaret til spørgsmålet i første linje være: ja, "pi er et transcendentalt (reelt) tal" er (måske) en mere præcis betegnelse end "pi er et irrationelt reelt tal".

For mere om transcendentale tal, se http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

#3
Indrømmet at spørgsmålet i #0 ikke er klart formuleret, men jeg er ikke enig i, at der efterspørges en klassificering af specielt pi. Tallet anvendes af spørgeren som en eksemplificering på, hvad der menes - at pi i decimalfremstilling har uendeligt mange decimaler.
Med hensyn til pi er det klart at det er transcendent eftersom det ikke er rod i noget polynomium over nogen ring.

Der efterspørges en generel betegnelse for tal med uendelige decimalfremstillinger. Det er ikke korrekt, som du siger, at det er de irrationale tal. Som angivet i mit tidligere svar er det let at hitte på et rationalt tal der har denne egenskab. Det eneste specielle ved decimalfremstillingen af et sådant rationalt tal er, at der vil fremkomme en periodisk tilbagevendende sekvens af cifre.

Det er heller ikke rigtigt at alle irrationale tal også er transcendente. F.eks. er sqrt(2) irrationalt, men det er ikke transcendent, da det til eksempel er rod i polynomiet f(x) = x²-2 hvor f(x) E Q[x].

#4,

Jeg kan godt se, at alle irrationelle tal også er transcendente. Jeg havde læst informationen på MathWorld forkert. Der står, at alle transcendente tal nødvendigvis er irrationelle, hvilket er det modsatte af, hvad jeg sagde.

Det lader til, at "transcendent" er det udtryk, der efterlyses i #0.

#4
Nej, transcendent er ikke svaret. Der er ingen betegnelse for sådanne tal udover at det er tal med decimalfremstillinger med uendeligt mange cifre.

Som omtalt i #4 falder både transcendente tal, irrationale ikke-transcendente tal og visse rationale tal ind under denne kategori.

"Jeg kan godt se, at alle irrationelle tal også er transcendente."

Det er forkert og faktisk det modsatte af hvad jeg siger i #4.

De reelle tal består af de rationale og de irrationale tal. De irrationale tal udgøres af de transcendente tal og de ikke-transcendente irrationale tal. Ethvert transcendent tal er dermed irrationalt, medens det omvendte ikke er tilfældet, jvf. med sqrt(2) i #4.

#6,

Selvom #5 egentlig skulle være en rettelse til #3, så fik jeg vist sagt det samme i begge tilfælde.
Det, som jeg havde tænkt mig at sige i første sætning i #5 var, at "jeg kan godt se, at ikke alle irrationale tal er transcendente", men jeg fik vist sagt det modsatte. Forvirrende.

Nu kan jeg godt se, at den betegnelse, der efterlyses i #0, ikke findes, thi tal fra forskellige "kategorier" kan have uendelig decimalbrøkfremstilling.