Matematik

komplekse tal og induktion

13. november 2006 af ??? (Slettet)

Evaluer (1+i)^2, hvor i= kvadratroden af -1

Dernæst skal jeg bevise ved hjælp af induktion at (1+i)^4n=(-4)^n, hvor n tilhører N+.

Jeg har lige brug for at at komme i gang med opgaven. Hvad menes der med evaluer?

Mange tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2006 af sigmund (Slettet)

Evaluer (1+i)^2, dvs. udregn (1+i)^2. Det skulle være lige til. Brug kvadratsætningen, og husk at i^2 = -1.

Mht. induktionsbeviset, så er det bare at gå i gang med at regne. For n = 0 giver resultatet sig selv. Undersøg om det passer for n = 1 samt for n+1.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. november 2006 af sigmund (Slettet)

#1,

Rettelse: n er element i N+. Derfor giver det ikke mening at tale om n = 0.

Svar #3
13. november 2006 af ??? (Slettet)

Mange tak for dit svar.

Jeg er nu kommet til: (1+i)^4k+(k+1)^2 = (-4)^k+(k+1)^2 ...og så er jeg gået lidt i stå her. Jeg har kun haft meget lidt om induktion, det er derfor jeg er ret lost... Håber du lige har tid til at hjælpe mig videre:)

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. november 2006 af sigmund (Slettet)

Hvor kommer udtrykket (1+i)^4k+(k+1)^2 fra?

Har du gennemført beregningerne for n = 1? Har du ikke fundet, at det gælder for 1?

Så undersøger vi for n+1. Vi sætter n+1 ind for n, og får:

(1+i)^(4n+4) = (-4)^(n+1) <=>
(1+i)^(4n)*(-4) = (-4)*(-4)^n <=>
(1+i)^(4n) = (-4)^n.

Således gælder udtrykket for 1 og n+1, og vi konkluderer, at det gælder for alle n.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. november 2006 af sigmund (Slettet)

#4,

Når jeg i linje 2 og ud taler om udtrykket, er der tale om (1+i)^4n=(-4)^n.

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. november 2006 af sigmund (Slettet)

Efter at have læst på Wikipedia, så kan jeg se, at det måske skal stilles op på en anden måde.

Vi viser, at udtrykket gælder for n = 1. Dernæst antager vi, at det gælder for n = k, og viser det for n = k+1.

På baggrund af dette konkluderer vi, at udtrykket gælder for alle n element i N+.

Svar #7
13. november 2006 af ??? (Slettet)

Mange mange tak.

Skriv et svar til: komplekse tal og induktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.