Udregn mindste afstand

"VektorOP= (3,4) + 2(COSt,SINt)= 3+2COSt,4+2COSt"

Nej. OP=[[3+2COSt][4+SINt]], givet at "vektorA(3,4) og VektorB(COSt,SINt) , t er et element i [0,2Pi]".

Anvend distanceformlen og sæt d/dt(dist(P,l))=0.

#1

"Nej. OP=[[3+2COSt][4+SINt]]"

Det forstår jeg altså ikke.

VektorOP= VektorA + 2VektorB


2VektorB = 2(COSt,SINt), og det siger du er lig

OP=[[3+2COSt][4+SINt]]

er det ikke sådan at når 2 står uden for en parantes skal 2 ganges ind i hvert led ?

så burde 2(COSt, SINt) da give 2COSt,2SINt ?

Endvidere er jeg i tvivl om hvad

d/dt er

jeg kiggede lidt i bogen og kunne finde tegnet dx/dy = y'

og mener at kunne huske d stod for differentieret, men jeg er i tvivl om stadig hvad d/dt er

Yep, det var en typo.
OP=[[3+2COSt][4+2SINt]]

Når du d/dt'er differentierer du.

l: y=(1/2)x+6 indtegnes
eller

på formen
x-2y+12=0

dist(l,P(x,y)) = |x-2y+12|/sqr(l^2+(-2)^2)

dist(l,P(x,y)) = |x-2y+12|/sqr(5)

vektor_OP = [3+2cos(t),4+2sin(t)] er stedvektor for punktet P, hvorfor P har samme koordinater.

Punktets P's afstand til l:
dist(l,P(x,y)) = |3+2cos(t)-2(4+2sin(t))+12|/sqr(5)

da
vektor_OP = [3+2cos(t),4+2sin(t)] er en parameterfremstilling af cirklen med radius 2 og centrum i (3,4),
ses, at
denne cirkel ligger helt i linjen l's positive halvplan regnet efter normalvektor (1,-2) (x-2y+12=0),

hvorfor
dist(l,P(x,y)) = (3+2cos(t)-2(4+2sin(t))+12)/sqr(5) eller

d(t) = [(2cos(t)-4sin(t)+7]/sqr(5)

d'(t) = (1/sqr(5))*[-2sin(t)-4cos(t)]= -(2/sqr(5))*[sin(t)+2cos(t)]...som

jvf. m*cos(t)+n*sin(t) = sqr(m^2+n^2)*cos(t-beta), hvor beta=tan^-1(n/m)
kan omskrives til

n=1 og m=2 og n/m=0.5
beta = tan^-1(0.5)=0.463648

d'(t) = -(2/sqr(5))*(sqr(1^2+2^2)*cos(t-0.463648)

d'(t) = -(2/sqr(5))*(sqr(5)*cos(t-0.463648)

d'(t) = -2*cos(t-0.463648), hvor d(t) har et minimum hvor d'(t)=0

-2*cos(t-0.463648)=0

cos(t-0.463648)=0

t-0.463648 = pi/2

t = 2.03444
d(t) har minimum for t = 2.03444,

da d'(t)0 for t>2.03444