SSO - komplekse tal

Algebraens fundamentalsætning skal vel vises ?

Mon dog. Mig bekendt er der to måder at vise den på. Kompleks analyse giver den letteste (Liouville's sætning, så vidt jeg husker), men næppe oplagt i en SSO. Er man til et algebraisk bevis, kan man anvende Galois teori, men det gør bestemt ikke sagen nemmere.

Men selvfølgelig bør sætningen nævnes, det er klart. Ellers, komplekse tal er blandt de meget oplagte emner til SSO, og jeg tror gerne på, at det kan være svært at finde noget "ekstraordinært". Hvilken metode har du brugt til at indføre de komplekse tal? En elegant (men nok lidt omfattende) måde at gøre det på er v.h.a. restklasser for polynomier over R, altså mængden af restklasser modulo x^2+1. Det giver anledning til et legeme, der er isomorf med C. Tilsvarende (og lidt nemmere) kan man gøre med en særlig mængde af 2x2 matricer - og atter konstruere en isomorfi. Selv om du ikke har gjort således, vil det måske give bonus i hvert fald at nævne isomorfibegrebet og mulige måder at konstruere C på - der er mange!
Hvis det er for stor en mundfuld, så lad være med at bekymre dig om evt. ekstramateriale - koncentrér dig om at lave den "gode" matematiske fremstilling ud fra lige netop din tilgangsvinkel; det er trods alt hovedformålet og er faktisk svært nok i sig selv.

vh,

Anders.

Arh. Jeg tænkte bare på at bevise entydigheden.

ja, det må jo ikke fylde så meget, men jeg har forsøgt at indføre dem vha det komplekse talplan osv, men det er jo nok ikke så vældigt!
Så tak for ideerne....

noget helt andet du/I måske kan hjælpe mig med er en bestem type ligning. Det er en ligning hvor følgende indgår: 4*Re(z)..... hvordan skal det behandles, jeg har aldrig set det før???
Tak igen...

Det er også en glimrende, lettilgængelig måde at indføre de komplekse tal på. Dog bør man stadig huske at overveje problematikken som problemet med at udvide de komplekse tal til at omfatte løsninger til bestemte polynomiumsligninger. R er ikke algebraisk lukket - det er C (algebraens fundamentalsætning).

Kunne du evt. skrive lidt mere om denne type ligning, du skal behandle? Re(z) er blot realdelen af et komplekst tal z. Tilsvarende har man imaginærdelen, Im(z).

"Dog bør man stadig huske at overveje problematikken som problemet med at udvide de REELLE tal til..."

typo :)

Jeg har denne bestemte ligning som jeg skal løse:

z^2=4*Re(z)-3

Re(z)=x -ik?
men hvad så?

Lad mig se... Sæt z:=x+iy. Prøv da at skrive ligningen helt ud (kvadrér o.s.v.) - hvad får du; kan du afgøre løsningerne ud fra det?

Ok, jeg forsøgte mig med dit forslag, men det resulterede i noget der ligner volapyk!

Men i stedet fandt jeg ud af at
Re(z) jo er lig med 1/2(z+z*)

dvs. at
z^2 = 2z + 2z* - 3
->
z = +/- kvadratroden af det ovenstående.

Men kan det bruges som et færdigt resultat?