Matematik
Grænseværdier - kvalitativ sammenligning mellem 2 udtryk, der ligner hinanden...
21. marts 2007 af
B.R. (Slettet)
Hejsa... Det med grænseværdier er jeg virkelig idiot til, så har brug for hjælp...
Et spørgsmål lyder: "Lav en kvalitativ sammenligning af grænseværdierne 1 og 7 - den ene er udefineret, den anden 0, men de ligner hinanden meget. Kom med en forklaring".
Grænseværdi 1 hedder: lim sin(1/x), hvor x-->0
Denne bliver udefineret.
Grænseværdi 7 hedder: lim x*sin(1/x), hvor x-->0
Jeg går ud fra, at x'et i grænseværdi 7 har en betydning, men hvilken ved jeg ikke...
Nogen der kan hjælpe?
Et spørgsmål lyder: "Lav en kvalitativ sammenligning af grænseværdierne 1 og 7 - den ene er udefineret, den anden 0, men de ligner hinanden meget. Kom med en forklaring".
Grænseværdi 1 hedder: lim sin(1/x), hvor x-->0
Denne bliver udefineret.
Grænseværdi 7 hedder: lim x*sin(1/x), hvor x-->0
Jeg går ud fra, at x'et i grænseværdi 7 har en betydning, men hvilken ved jeg ikke...
Nogen der kan hjælpe?
Svar #1
21. marts 2007 af Duffy
Det bliver en løs gennemgang.
I 1:
Man skal starte med at indse at Værdimængden for
sin(1/x) er [-1;1]. Når x->0+ (altså x går mod nul fra højre) så vil 1/x -> +oo (plus uendelig)
det betyder at kurven for sin(1/x) vil svinge mere og mere vildt op og ned mellem værdierne -1 og 1 jo tættere x kommer på nul. Det vil sige at vilkårligt tæt på nul kommer der hele tiden kurvestykker forbi y-aksen i intervallet [-1;1]. Derfor kan man ikke udpege en bestemt grænseværdi. (Ikke andet end at værdierne selvfølgelig vil ligge mellem -1 og 1).
I 7:
Da vi nu ved at Værdimængden for
sin(1/x) er [-1;1] , så kan vi via regnereglerne for grænseværdier udregne grænseværdien.
lim x*sin(1/x), for x->0 .
Der gælder nemlig at lim (a*b) = (lim a) * (lim b)
Så vi har altså at
lim {x->0}(x*sin(1/x)) =
lim {x->0}(x) * lim {x->0}(sin(1/x)) =
0 * "et tal mellem -1 og 1" = 0
(jvf nulreglen)
Altså har vi
lim {x->0}(x*sin(1/x)) = 0
I 1:
Man skal starte med at indse at Værdimængden for
sin(1/x) er [-1;1]. Når x->0+ (altså x går mod nul fra højre) så vil 1/x -> +oo (plus uendelig)
det betyder at kurven for sin(1/x) vil svinge mere og mere vildt op og ned mellem værdierne -1 og 1 jo tættere x kommer på nul. Det vil sige at vilkårligt tæt på nul kommer der hele tiden kurvestykker forbi y-aksen i intervallet [-1;1]. Derfor kan man ikke udpege en bestemt grænseværdi. (Ikke andet end at værdierne selvfølgelig vil ligge mellem -1 og 1).
I 7:
Da vi nu ved at Værdimængden for
sin(1/x) er [-1;1] , så kan vi via regnereglerne for grænseværdier udregne grænseværdien.
lim x*sin(1/x), for x->0 .
Der gælder nemlig at lim (a*b) = (lim a) * (lim b)
Så vi har altså at
lim {x->0}(x*sin(1/x)) =
lim {x->0}(x) * lim {x->0}(sin(1/x)) =
0 * "et tal mellem -1 og 1" = 0
(jvf nulreglen)
Altså har vi
lim {x->0}(x*sin(1/x)) = 0
Skriv et svar til: Grænseværdier - kvalitativ sammenligning mellem 2 udtryk, der ligner hinanden...
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.