Transcendent tal

Et transcendent tal er et tal (reelt eller komplekst) der ikke er rod i noget polynomium med heltallige (eller blot rationale) koefficienter. Det er altså det modsatte af et algebraisk tal. At transcendente tal overhovedet eksisterer er ikke selvindlysende; dette bevistes først i 1844 af Joseph Liouville.

Eksempler på transcendente tal er p og e

"Næsten alle" tal er transcendente i den forstand, at der kun er tælleligt mange algebraiske tal, men overtælleligt mange transcendente. Det er imidlertid svært at opskrive transcendente tal, da mængden af algebraiske tal er lukket overfor næsten alle normalt brugte funktioner, dvs. de giver algebraiske tal hvis man bruger dem på algebraiske tal. Undtagelser inkluderer potensopløftning med irrationel eksponent ( er transcendent) og de trigonometriske funktioner (sin(1) er transcendent, ligesom alle trigonometriske funktioner taget på et vilkårligt rationelt tal, der ikke er 0).

Tak til wikipedia!

Jamen hvordan kan algebraiske tal være tællelige, når de bl.a. tilhører irrationale tal, der netop ikke er tællelige?

Ikke alle irrationelle tal er algebraiske. Et algebraisk tal er et tal der er rod i et polynomium med rationale koefficienter.

Ser vi først på nultegradspolynomier med rational koefficient må der være tælleligt mange af disse (et for hvert rational tal). Af førstegradspolynomier må der være Q^2, for andengradspolynomier Q^3, osv. Q^n er tællelig for alle n E N, så det må de algebraiske tal også være. (lidt løst argumenteret, tror nok det passer).