Matematik

Integration af lnx

02. april 2007 af Christinana (Slettet)

Hvorfor giver lnx integreret x*lnx-x?

Jeg kan selvfølgelig differentiere x*lnx-x og se, at (x*lnx-x)' = lnx, men her antager jeg så, at jeg allerede KENDER stamfunktionen til lnx.
Hvad skal jeg gøre, hvis vi antager at jeg IKKE kender den i forvejen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2007 af chrisjorg (Slettet)

Altså, du kan altid differentiere hvilken som helst funktion ved: f'(x)=lim{h-->0}((f(x+h)-f(x))/h)
Dette kaldes at differentiere 'from first principles'.

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

Der bruges partiel integration:
S(lnx)dx = S(1·lnx)dx = S(1)dx·lnx - S(S(1)dx·(lnx)´)dx = x·lnx - S(x·1/x)dx = x·lnx - x + C

Svar #3
02. april 2007 af Christinana (Slettet)

Tak for svarene.
#2: Jeg kan ikke rigtig se, hvordan du går fra S(1·lnx)dx til S(1)dx·lnx - S(S(1)dx·(lnx)´)dx, kunne du ikke tilføje et ekstra trin?
Jeg takker på forhånd - god påskeferie :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#3 Der bruges egentlig bare regelen for partiel integration direkte ved at lade konstanten 1 være en funktion som svarer til f i nedenstående (og dermed svarer lnx til g):
S(f(x)·g(x))dx = F(x)·g(x) - S(F(x)·g´(x))dx
Du kan prøve at tage integrationsprøven (dvs. differentier begge sider og se om regelen stemmer, idet integranden står tilbage på begge sider) på ovenstående regel og den vil vise sig at være sand:
(F(x)·g(x) - S(F(x)·g´(x))dx)´ = (F(x)·g(x))´ - (S(F(x)·g´(x))dx)´ = f(x)·g(x) + F(x)·g´(x) - F(x)·g´(x) = f(x)·g(x)

Svar #5
03. april 2007 af Christinana (Slettet)

Ok, det kan jeg godt se nu, tak for hjælpen!

Kan jeg også lokke dig til at vise beviset for
S 1/x dx = lnx
?
Det ville jeg sætte pris på!

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. april 2007 af mathon

se
http://peecee.dk/?id=37793

Svar #7
03. april 2007 af Christinana (Slettet)

Hej mathon,
beviset for stamfunktionen af lnx forstod jeg egentlig godt, eftersom Benjamin viste det i #3-4.
Jeg forstår til gengæld ikke, hvorfor int 1/x dx =lnx, så måske kunne du vise mig det bevis i stedet for?
Det ville jeg sætte stor pris på.

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. april 2007 af mathon

se
definition på ln(x)
http://peecee.dk/?id=37795

Svar #9
03. april 2007 af Christinana (Slettet)

Ha ha, okay :)
Er e^x integreret/differentieret også en definition?

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. april 2007 af mathon

e^x er sin egen afledede og dermed S e^xdx = e^x + k

se
http://peecee.dk/?id=37798

Svar #11
04. april 2007 af Christinana (Slettet)

Tak, jeg kigger lige på det, når jeg får tid, og poster et nyt indlæg hvis jeg får problemer.

Tak for hjælpen til begge.

Skriv et svar til: Integration af lnx

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.