6 gradsligning

For at du kan substituere med t=x^2 i din ligning skal du først have skrevet den om til en 4-grads ligning af formen
ax^4+bx^2+c, hvilket *hint* kan gøres med én simpel regneoperation. Herefter er det rimelig let at løse tx^2+bx+c=0 osv.

Ja, du kan dividere med x^2 gennem hele ligningen, og så bruge den metode, som du selv foreslår.

Hvis du er tilfreds med aflæsninger, kan du indtaste funktionen i programmet Graph http://www.padowan.dk og aflæse skæringerne med x-aksen.

Forkort med x, så har du

x^4 + 10100x^2 + 10^6 = 0

og så laver du substitution, som sagt i #1. Så du har nu

t^2 + 10100t + 10^6 = 0

Når du har fundet t, husk så at der er to løsninger, nemlig

x = -t^(1/2) eller x = t^(1/2)

Lige én lille ting: det er en femtegradsligning, ikke en sjettegradsligning!

I glemmer noget!

Idet der ikke er noget konstantled er den ene løsning jo 0, den mister I når I deler med x.

Faktisk er 0 den eneste reelle løsning.
Da x^2+10100x+10^6 udelukkende består af positive led må løsningerne være negative.
Når du så går tilbage til x^4... skal du tage kvadratroden af et negativt tal.

Så løsningsmængden i R er 0

Men en 5.gradsligning har (selvfølgelig) altid 5 løsninger, de resterende ligger i Z og er:
{10i, -10i, 100i, -100i}

Hvor skal der tages kvadratrod?

-10.000 og -100 må da være løsninger:

(-10^4)^2+10100(-10^4)+10^6 = 0

(-10^2)^2+10100(-10^2)+10^6 = 0

-10^2 er ikke =-100. Det er 100...

Problemer #6 snakker om ligger i at man ikke kan tage kvrod af negative tal, og det skal man for at finde x, efter man har fundet t. X skulle være +-kvrod(-10000) og +-kvrod(-100).

>mbipsen: Nu er du da helt galt på den!

For det første:
Du kan ikke opløfte -10^4 og få -10000.
Et reelt tal ganget med sig selv giver altid noget positivt.
Hvis du på din lommeregner har skrevet:
-10^4 og fået -10000 er det fordi den tror du mener:
-(10^4) =-10000
Det du egentlig mener er:
(-10)^4 =10000
Ligeledes med din anden ligning.

For det andet:
Selvom de havde været rigtige kunne de ikke bruges til noget.
Opgaven går jo på at løse ligningen x^5+10100x^3+10^6x = 0
Den har IKKE samme løsningsmængde som
x^4+10100x^2+10^6


Sådan skal det gøres:
x^5+10100x^3+10^6x = 0 <=>
x^4+10100x^2+10^6 = 0 v x=0
Nu substitueres: t=x^2
Så vi vil nu løse:
t^2+10100t+10^6 =0 <=>
t=-10000 v t=-100

For at komme tilbage til vores oprindelige ligning må vi "substituere tilbage":

t=x^2 <=> x=+/-sqrt(t)

Så alle løsningerne er altså:
0
+/-sqrt(-100)
+/-sqrt(-10000

Det er her der skal tages kvadratrod af negative tal. Så eneste løsning i de reelle tal er altså 0!

Men som sagt findes også 4 komplekse løsninger:
{10i, -10i, 100i, -100i}
Dette er dog universitetsniveau.


I stedet for regnearbejdet kunne man hurtigt have argumenteret for at eneste reelle løsning er 0 ved at se på ligningen led for led:
x^5:
x x^5 x>0 => x^5>0
x=0 => x^5=0
10100x^3:
x 10100x^3 x>0 => 10100x^3>0
x=0 => 10100x^3=0
10^6x:
x 10^6x x>0 => 10^6x>0
x=0 => 10^6x=0

Her ses det tydeligt at x=0 er løsning, hvorimod:
x x^5+10100x^3+10^6x
x>0 => x^5+10100x^3+10^6x > 0

Nemlig Mads^^:-)

En enkelt tilføjelse, jeg var lidt for ivrig. Ligningerne
x^5+10100x^3+10^6x og
x^4+10100x^2+10^6 HAR naturligvis samme løsningsmængde bortset fra løsningen 0.