Matematik

Svært bevis!

06. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvordan beviser jeg at a^n * a^m = a^(n+m) for R ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. maj 2007 af Lurch (Slettet)

prøv dig frem med følgende log-regler

log(x*y) = log(x) + log(y)
log(x^a) = a*log(x)

Svar #2
06. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#1 Det har jeg gjort, men log-regleren hviler på samme cirkulære hypotese! Jeg har oprettet det her indlæg før, og nu håber jeg virkelig at der er en, som løser det..

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. maj 2007 af holretz (Slettet)

Her er brugbart bevis:

Læg først mærke til at:

d/dx ln(a*x) = 1/(a*x) * d/dx (a*x) = a* 1/(a*x) = 1/x = d/dx ln(x)

Altså d/dx ln(a*x) og d/dx ln(x) har den samme afledede.

Derfor kan de to størrelser kun adskille sig fra hinanden ved en konstant ifølge middelværdisætningen.

Altså: ln(a*x) = ln x + C *

Det skal nu vises at C = ln a

ligningen * gælder for alle x > 0 så den gælder også for x = 1, altså

ln(a*1) = ln 1 + C <=> ln a = 0 + C <=> C = ln a

Det er selvfølgeligt ligegyldigt hvilket grundtal man arbejder med, så beviset gælder også for 10-tals logaritmer.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. maj 2007 af mathon

ln(x*y) = ln(x) + ln(y)

se
http://peecee.dk/?id=43744

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. maj 2007 af frodo (Slettet)

det følger af definitionen:

(a^n)*(a^m)=[a*a*...*a (n gange)]*[a*a*...*a (m gange)]

ergo står der a ganget med sig selv (m+n) gange, og det giver således a^(m+n)

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. maj 2007 af holretz (Slettet)

Ja, men det er bare ikke nok hvis n og m ikke er hele tal...så er du nødt til at gå "omvejen" med logartimerne...

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. maj 2007 af allan_sim

#5.
Det gælder kun, hvis n og m er naturlige tal. Der spørges til et bevis, hvis n og m er reelle tal.

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Nej!Nej!Nej!
Det er slet ikke så svært, og du behøver bestemt ikke blande logaritmer eller differentialligninger ind i det.
Her er beviset:
Skriv a^n som a*a*a*....(ialt n gange)*a*a*a(ialt m gange). Du får så:

a*a*a*...(ialt n+m gange)
Man kan også skrive:
(a*a*a*a*a....(osv ialt n+m gange)). For eksempel
3^2*3^3=
3*3*3*3*3 i alt 3^(5)
Beviset består altså i at det skrives helt ud.

V.h.
Erik Morsing

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. maj 2007 af holretz (Slettet)

jamen hvis n og m ikke er hele tal, så kan man da ikke argumentere sådan ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. maj 2007 af holretz (Slettet)

konklusion: hvis n og m er hele tal, så består beviset i at skrive produktet helt ud, hvis m og n er reelle tal, så kan man bruge definitionsudtrykket for ln direkte (eller man kan omskrive til en differentiel form hvis man synes det er sjovere) og bevise det af den vej.

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. maj 2007 af mathon

bør forstås i sammenhæng
med
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=338587
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=337741
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=337409

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Har I ikke fundet ud af det endnu?. Var lige herinde.

Beviset kommer her (læg mærke til, at det er baseret på en definition):

Vi definerer a^(p/q)=den q'te rod af a^p. Her er p og q blevet hele tal. Udregner vi først a^p fås lad os sige x. Opgaven går nu ud på at finde det tal, der ganget med sig selv giver x.
Eksempel
2^(3/2)=kvadratrod 8. Vi skla så bare løse ligningen
x^3=8.

V.h.
Erik Morsing.

Svar #13
06. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Tak! :)

Brugbart svar (0)

Svar #14
07. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Jeg lavede et dokument til dig for nogen tid siden. Nu er det så skrevet helt færdigt med det bevis du så længe og ihærdigt har søgt efter + et par flere. Jeg håber du ser dette og kan bruge det.
http://peecee.dk/?id=44016

Brugbart svar (0)

Svar #15
07. maj 2007 af sheaf (Slettet)

#0
Hvorfor i alverden spørger du om det igen:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=338587

Brugbart svar (0)

Svar #16
07. maj 2007 af sheaf (Slettet)

#11
Nå, det bemærkede du også ;-)

#12
Genlæs #6 og #7.

Brugbart svar (0)

Svar #17
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)

Tak til Mimical for det flotte dokument vedrørende potensreglerne. Det har jeg arkiveret sammen med min mange andre noter.
Når du skriver:
"Jeg tror ikke at der findes et egentlig bevis for at a^0 = 1, men det udledes naturligt af potensregnereglerne." så er det helt rigtigt, idet a^0 er defineret til at være = 1, så vi behøver ikke et bevis.
Med hensyn til definitionen på den naturlige logaritme, så ligger beviset i en geometrisk betragning koblet med grænseværditeoremet (som du også var inde på). Vi kan sige, at de to egenskaber d/dx(ln(x) = 1/x udfra udfra nævnte grænseværdibetragtning samt at ln (1) = 0 har vi tilstrækkeligt til at bestemme funktionen ln(x) fuldstændigt.
Det er naturligvis kun en tilføjelse til det, du har skrevet rettet mod spørgeren. Jeg synes bare, at det er en svær opgave at få af sin lærer på gymnasieniveau.
Til sidst kan du så ikke lige fortælle mig, hvordan du får symbolerne skrevet så smukt ind i word, jeg kan ikke find de matematiske symboler nogle steder.
V.h.
Erik Morsing.

Skriv et svar til: Svært bevis!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.