Matematik

Komplekse tal, hjælp til bevis

21. maj 2007 af Paggee (Slettet)

Hej. Jeg har fået stillet den her opgave som jeg kan risikere at komme op i til eksamen. Jeg kan imidlertid ikke finde ud af den så jeg er lidt på skideren. Er der nogen flinke personer herinde der kan og vil hjælpe mig?

http://peecee.dk/?id=47039

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

Hmm. Det er "de moivres formel" du skal bevise

(cos(v)+i*sin(v))^n = cos(nv)+i*sin(nv)

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Her er beviset

Q.E.D.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Lille mindre fejl i LaTeX-koden!

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Også endnu én! Nu skulle den være der:

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. maj 2007 af Mimical (Slettet)

Underligt, se bort fra alt uden for $ tegnene inkl.$ tegnene

Svar #6
21. maj 2007 af Paggee (Slettet)

Tak for svaret.

Hvor er fejlen i #3 ?

Svar #7
21. maj 2007 af Paggee (Slettet)

Og til Mandelbrot, jeg skal bevise den formel der i en anden opgave umiddelbart efter, så jeg tror det ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

En måde der måske er lidt nemmere at forstå er:

Sæt
z^n = a
|a| = r
arg(a) = v

Den generelle formel skrives

a = |a|[cos(arg(a))+i*sin(arg(a))]

Nu substitueres z^n = a ind i ligningen

z^n = |z^n|[cos(arg(z^n))+i*sin(arg(z^n))]

Du kender regnereglerne:
|z^n| = |z|^n og arg(z^n) = n*arg(z)

Derfor omskriver du ligningen til

z^n = |z|^n[cos(n*arg(z))+i*sin(n*arg(z))]

I denne ligning er r = |z| og arg(z) = v, så når du erstatter disse udtryk får du,

z^n = r^n[cos(nv)+i*sin(nv)]

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#7
Det er da også den Mimical beviser.

Svar #10
21. maj 2007 af Paggee (Slettet)

#8 Hvad står arg for? Det kan godt være, at det er lidt nemmere men jeg skal lige vide hvad arg betyder først. Mange tak for dit svar!!

#9 Ja det har du vel ret i. Er dét den eneste måde at gøre det på?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. maj 2007 af Joggi (Slettet)

b) Bevis, at for alle n£N og alle v£R gælder formlen:
(cos v + isin v)^n = cos(nv) + isin(nv) .

c) Benyt ovenstående til at udtrykke cos(3v) og sin(3v) ved hjælp af cos v og sin v.

Nogen der kan forklare mig hvad der menes i opgave c?

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#10

arg er en forkortelse for argument. Det skulle meget gerne stå i begyndelsen af din lærebog.

Anyway, så er det difineret som

tan(arg(a)) = a_2/a_1
<=>
arg(a) = arctan(a_2/a_1),

hvor a_1 og a_2 er henholdsvis den reelle enhed og den imaginære enhed. dvs.

a = a_1+i*a_2.

arg(a) kan også findes vha. cos og sin.

cos(arg(a)) = a_1/|a|
sin(arg(a)) = a_2/|a|

hvis henholdsvis a_1 og a_2 isoleres, kan udtrykkende substitueres ind i a = a_1+i*a_2, og man får

a = |a|cos(arg(a))+i*|a|sin(arg(a)),
her sætter |a| udenfor en parentes. Desuden er |a| = r og arg(a) = v.

a = r(cos(v)+i*sin(v).

Dette er beviset på vores udgangspunkt i #8, derfor er det temmelig relevant, at kende arg(a).

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. maj 2007 af Mandelbrot (Slettet)

#11
Svaret i opgave c, må umiddelbart være

(cos(v)+isin(v))^3

Brugbart svar (0)

Svar #14
21. maj 2007 af Joggi (Slettet)

Ja ok, kan godt se hvad der menes nu.. Mange tak for hjælpen

Skriv et svar til: Komplekse tal, hjælp til bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.