Fordeling

Det første spørgsmål giver ikke mening, du må præcisere.

Til det andet spørgsmål findes et bevis her:
http://www.math.clemson.edu/~simms/neat/math/pi/piproof.html

Der findes dog mange andre beviser.

Theorem: pi is irrational

Proof: Suppose pi = p / q, where p and q are integers. Consider the
functions f_n(x) defined on [0, pi] by

f_n(x) = q^n x^n (pi - x)^n / n! = x^n (p - q x)^n / n!

Clearly f_n(0) = f_n(pi) = 0 for all n. Let f_n[m](x) denote the m-th
derivative of f_n(x).

-- Det har jeg forstået, men jeg forstår ikke det nedenstående. Hvad sker der? --

Note that

f_n[m](0) = - f_n[m](pi) = 0 for m <= n or for m > 2n; otherwise some integer

max f_n(x) = f_n(pi/2) = q^n (pi/2)^(2n) / n!

By repeatedly applying integration by parts, the definite integrals of
the functions f_n(x) sin x can be seen to have integer values. But
f_n(x) sin x are strictly positive, except for the two points 0 and
pi, and these functions are bounded above by 1 / pi for all
sufficiently large n. Thus for a large value of n, the definite
integral of f_n sin x is some value strictly between 0 and 1, a
contradiction.

Standardnormalfordelingen er givet ved en DEFINITION af standard normal sandsynligstætheden:
f(z) = (2*pi)^(-1/2)*e^(-z^2/2)

En af grundene til at normalfordelingen er så interessant er, at det er den sandsynlighedsfordeling (med en given spredning og en given middelværdi), der har højest entropi.

Entropien for en sandsynlighedsfordeling p(x) er givet ved



hvor log er den naturlige logaritme.

Den fordeling, der har højest entropi, er den fordeling, hvor det KUN er spredningen og middelværdien, der er indbygget i fordelingen.

Det er ikke ligefrem den pæneste formel der er skrevet i #4, men det er integralet fra minus uendelig til uendelig af
-p(x)*log p(x)