Matematik

Pi er et transcendent tal

06. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Pi er et transcendentalt tal.

Lindemanns bevis på, at pi er et transcendent tal (et reelt eller komplekst tal, der ikke er rod i noget polynomium) bygger på det, vi diskuterede i Daniel-tråden: ”Hvis I ikke….”: nemlig det faktum at e^i*pi +1 = 0).
Kan man ikke bruge følgende ræsonnement som bevis:
pi er, så vidt jeg ved, udregnet med over en million ciffre, er det så rimeligt længere at antage, at pi kan skrives som en periodisk brøk? Nu kan tallene (0,10) stå på 10^10 måder, og rent teoretisk ville man så (statistisk set) kunne forkaste hypotensen: ”pi er et transcendent tal”, hvis der tilstrækkeligt med cifre? Som jeg skrev, det er bevist, men kunne man ikke også bruge ovennævnte statistiske bevis? Hvis jeg med andre ord trækker et kort fra en kortbunke og 200 gange får ruder 10, kan jeg så ikke sige: Det sæt kort, du har der, er alle lutter ruder 10? Det kan der selvfølgelig regnes på, hvor stor sandsynligheden er, for at der er andet end ruder 10 i bunken. Altså kort og godt: Kan vi bevise ud over al tvivl, at pi er et transcendent tal ved brug af statistikken, når bare vi får tilstrækkelig mange ciffre? Det er mit spørgsmål.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. august 2007 af Riemann

Man kan vel aldrig bevise det matematisk på denne måde, men kun sandsynliggøre det.

Med samme form for "bevis" ville man jo også kunne bevise Riemann-Hypotesen, da man har udregnet at de første 10000000000000 ikke-trivielle nulpunkter for zeta-funktionen har real-del 0.5 (Riemann-hypotesen siger, at alle ikke-trivielle nulpunkter for Zeta-funktionen har real-del 0.5).

Så denne metode kan vist ikke kaldes et rigtigt bevis. - I øvrigt - mht. til dit sidste spørgsmål: hvem skulle afgøre hvad der var tilstrækkeligt mange cifre?

Svar #2
06. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#1 skriver:
"hvem skulle afgøre hvad der var tilstrækkeligt mange cifre."

Indenfor statistikken forkaster man rask væk nogle hypoteser på baggrund af tilstrækkeligt store stikprøver. Hvis man laver en grænsekontrol en hel dag for at fange smuglere, og hver anden bil bliver vinket ind til siden, uden at man finder det mindste, kan man så ikke leve med udsagnet: Der er ingen, der smugler varer over grænsen. Naturligvis under forudsætning af, at ingen kender til kontrollen udover kontrollørerne.
Hvem skulle afgøre det:
Ja, det er op til den enkelte, om han kan leve med "beviset"

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. august 2007 af peter lind

Sandsynligheder kan kun sige noget om et eller andet med en vis sandsynlighed. Når man forkaster en hypotese ved man kun med en vis sandsynlighed at den er falsk. Hvis du tager en stikprøve fra en række varer og finder alle i orden, kan du ikke sikkert sige at resten er det, eller for den sags skyld det omvendte. Hvis du har for mange defekte eventuelt alle, kan du kun med en vis sandsynlighed udtale dig om resten. Der er teoretisk ikke noget i vejen for at resten er i orden. I et matematisk bevis vil man aldrig acceptere sådan en usikkerhed. Eksempelvis vil Fermats sidste sætning så være bevist mange år før man rent faktisk accepterede at den var korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. august 2007 af Riemann

#2
Sætning:
Alle kontinuerte funktioner er differentiable i deres definitionsmængder.

Bevis:
*Alle polynomier er differentiable og kontinuerte

*f(x)=1/(x-1) er differentiabel og kontinuret i R\{1}

*sin, cos, tan og cot er også kontinuerte og differentiable på passende intervaller.

*mange andre eksempler

Heraf kan det konkluderes, at en kontinuert funktion er differentiabel, idet der her er vist ufatteligt mange eksempler på at dette er rigtigt.

QED

I princippet er der ikke noget i dit regelsæt for "sandsanligheds-beviser", der gør det ovenstående bevis forkert...

Svar #5
06. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

OK, OK har fattet pointen, det var bar en tanke, jeg fik, da man i stor udstrækning benytter statistik blandt også indenfor fysikken (termodynamikken), og der er der ingen, der gør af det. Når man ikke har andet, så er det vel godt nok?

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. august 2007 af Riemann

#5
Forskellen er også at i fysikken laver man modeller, hvorimod sætningerne i matematik skal gælde eksakt.

Får man først en forkert sætning ind i matematikken bliver matematikken inkonsistent, og så kan man bevise alle sætninger (tror jeg nok).

Svar #7
06. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Et tankeeksperiment: Hvis man i stedet for den rene matematik satte en enhed efter et tal for eksempel 5,23 meter, og nogen kom og sagde: Nej det er 5,435678945676498... meter, så ville jeg sige: "Slap nu lige af". I den virkelige verden accepterer man ikke uendelige rækker. Det er, som jeg ser det, et problem ved matematikken, den kan ikke stå alene og er "kun" et værktøj (redskab) for videnskab, økonomi, psykologi m.m. ikke en selvstændig videnskab.
Jeg forudser en strøm af protester, men det tager jeg i stiv arm.

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. august 2007 af Riemann

#7
Matematik i den reneste form har (efter min mening) ikke noget med den virkelige verden at gøre. Det er vel bare studiet af, hvad man kan udlede ud fra nogle definitioner/aksiomer. Matematikken kan vel godt stå alene - man kan jo godt studere mængder, funktion og alt muligt andet uden at relatere til andre fagområder.

Så jeg vil mene, at matematikken godt kan stå alene, men ikke siger noget om virkeligheden. Så man kan vel at matematikken ikke er naturvidenskab, men nærmere en humanistisk videnskab.

At den så også - som du også siger det - er et godt værktøj er en anden sag...

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. august 2007 af DeciMat (Slettet)

Hvis nu pi ikke var trancendent, ville man så ikke med rette påstå, at det er også muligt at tegne cirklens kvadratur?

Jeg tror at det er faktis´k muligt at forestille sig pi er trancendent.
Da pi er den halve omkreds i enhedscirklen og alle punkter skal ligge i samme afstand fra centrum og at et punkt er det der ikke kan deles, så kan det ikke være anderledes at pi må blive ved med at have flere decimaler. Eller vil der komme et tidspunkt hvor to punkter ligger samme sted. Dermed er det ikke længere en cirkel. Men da det er en cirkel så er pi trancendent.

Tænker jeg, men, man troede også fuldt og fast på at jorden er flad. Det kan være at vi en dag opdager at det ikke passer.

DeciMat

Svar #10
10. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

OK, men hvis man havde fundet ud af, at Fermats sidste sætning var forkert, ville man så ikke sige:
"Regn det en gang til!"
Har lige lavet beviset på, at pi er irrationel til Julia (ikke kan skrives som en brøk med heltallig tæller og nævner), men det kan da også gøres rent geometrisk, hvad skal vi så med det analytiske bevis?

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. august 2007 af Riemann

Fordelen ved analytiske beviser er efter min mening, at de er mere "præcise". Ved geometriske beviser synes jeg ret ofte, at man hører en ret løs form for argumentation. For eksempel synes jeg ofte, at man i geometriske beviser bruger symmetri-argumenter uden at argumentere ordentligt for den givne symmetri.

Men hvis ellers man er omhyggelig, vil jeg give dig helt ret i, at geometriske beviser er mindst lige så gode som analytiske beviser.

Når en sætningen er blevet opdaget er det vel også ofte sket på baggrund af geometriske betragtninger (kunne jeg forestille mig!).

Skriv et svar til: Pi er et transcendent tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.