tal

Hvad har du selv gjort dig af overvejelser?

En mulighed er at benytte Fermat's lille sætning til at vise at 2^(2^n)+5 _ikke_ er et primtal og derfor må være sammensat.

Et alternativ er at vise at 3 er divisor i 2^(2^n)+5 for ethvert naturligt tal n. Brug omskrivningen

2^(2^n)+5 = 2*2^(2^n-1)+5 = (3-1)*2^(2^n-1) + 5 = 3*2^(2^n-1) - 2^(2^n-1) + 5 (*)

Brug dernæst successivt samme teknik på leddet - 2^(2^n-1) og de deraf følgende. Processen fortsætter indtil faktoren 2^(2^n - (2^n-2)) = 2^2 = 4 tilbagestår. Men 4 = 3 + 1. Summer tilsidst dette 1 med de 5 (*) til 6 = 2*3. Tilbage står en sum af led hvori 3 er faktor i dem alle sammen. Da 2^(2^n) + 5 > 3 for alle naturlige tal og da 3 er divisor deri må 2^(2^n) + 5 være sammensat.

Hvordan kan Fermats lille sætning bruges?

Så leddet med n forsvinder faktisk, og tilbage får jeg 9 som giver 3*3, altså en sammensætning. Right?

Er det forstået korrekt?

Ja.

Du får en sum af led:

2^(2^n)+5

= 3*2^(2^n-1) - 2^(2^n-1) + 5

= 3*2^(2^n-1) - (3-1)2^(2^n-2) + 5

= 3*2^(2^n-1) - 3*2^(2^n-2) + + 2^(2^n-2) + 5

:

= 3*2^(2^n-1) - 3*2^(2^n-2) + 3*2^(2^n-3) - .... + 3*3

3 er divisor i alle ledene og derfor i summen.