Matematik
Komplekse tal, opgaver
Jeg har desværre ikke lært latex, så kan desværre ikke skrive det pænere op. Håber alligevel i vil bruge lidt tid på det.
Opgave 1:
Givet det komplekse polynomium P(z)=z^4 + 1
Bestem samtlige rødder i P(z) på formen a + ib, og indtegn dem i den komplekse talplan.
Hvordan skal den løses? Jeg har prøvet at substituere så jeg istedet får en andengradsligning x^2 + 0x + 1, men der findes ingen løsninger til den. Hvad gør jeg så?
Opgave 2:
Lad polynomiet P(x) være givet ved
P(x)=x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 10
Det oplyses, at P(x) har en rod af formen lambda(1 + i) element i de reele tal.
(1) Bestem lambda, så P(lambda(1 + i))=0
Jeg er kommet frem til P(x)=10-6i, ved at sætte (1+i) ind på x' plads. Men er det løsningen og hvordan kommer jeg ellers videre?
(2) Find samtlige komplekse rødder i P(x).
På forhånd tak :)
Svar #1
01. oktober 2007 af Erik Morsing (Slettet)
-1+i er rod i ligningen, har du ikke skrevet forkert?
Svar #2
01. oktober 2007 af Mads123 (Slettet)
Angående opgave 2, så har jeg ikke skrevet noget forkert.
Svar #3
01. oktober 2007 af peter lind
z^4+1=0 <-> z^4 = -1, så du skal finde den 4' rod af -1. Der gælder at -1 = exp( i[pi + 2n*pi]) hvor n er et helt tal. Rodudragningen sker ved at dele eksponenten med 4. Gør du dette med n=0,1,2,3 får du tre forskellige resultater, som er løsningen.
Når du skriver at der ikke er nogle løsninger, mener du formodentlig dermed at determinanten er negativ. Reglen om at der så ikke er nogle løsninger gælder kun når der tales om reelle tal. Sætningen skulle i virkeligheden mere præcist hedde at så er der ingen reelle løsninger. Den pågældende ligning har de 2 løsninger i og -i.
opgave 2. Du skal ikke sætte 1+i ind men en konstant(her kaldet lambda) gange 1+i ind her. Jeg kalder konstanten k og det betyder du skal finde k så (k*[1+i])^4 -2(k*(1+i)]^3 -[k(1+i]^2 +2k(1+i) + 10 = 0.
Da koefficienterne til x er reelle tal er den komplex konjugeret til en løsning også en løsning. Dette kan du bruge til at reducere ligningen til en andengradsligning.
Svar #4
01. oktober 2007 af Mads123 (Slettet)
Opgave1: Først og fremmest. Er det en binom ligning eller bare en almindelig fjerdegradsligning? Og findes der en anden metode til at løse den, fordi jeg kan ingen steder i min bog finde noget der minder om -1 = exp( i[pi + 2n*pi]) ? Måske en slave metode? :)
Opgave2: Vil det sige jeg kommer frem til
P(x)= 2x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x + 10
Jeg har fundet frem til det ved at sige [1-i]*[1+i] = 2. Eller er jeg helt galt på den?
Svar #6
01. oktober 2007 af peter lind
Den angivne metode til roduddragning er standart. Hvis du ikke vil bruge den, kan du prøve at udregne (a+i*b)^4 og sæt det ind.
Det er en 4' grads ligning.
Ad opgave 2. Det er ikke rigtig. Du skal sætte x=k(1+i). At den konjugeret så også er en løsning betyder at k(1-i) også er en løsning.
Svar #7
02. oktober 2007 af Mads123 (Slettet)
Har ikke skrevet da jeg lige ville få regnet på det først. Og jeg er da heldigvis også kommet videre :)
Skriv et svar til: Komplekse tal, opgaver
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.