Dynamisk Simulation af Væske

Jeg vil aldrig få tid til at læse hele artiklen, men ved en overfladisk betragtning virker det som en meget simpel finite-difference løsning af modelligningerne i en yderst simplificeret model af vandpjask.

Ligning (1) udtrykker trykket trykket i gitterpunkt (i,j). Trykket er en sum af en trykpåvirkning fra den ovenliggende væskesøjle og det omgivelsestryk der hersker ved overfladen af denne. Det er et statisk tryk, da væsken antages at bevæge sig så langsomt, at de trykforskelle, der hersker ved instationære strømninger, kan negligeres. Trykket i en fluid i bevægelse er ikke det samme som i en fluid i hvile - det er trykforskellene der driver flowet.

Ligning (2) er blot en omskrivning af volumenudtrykket gældende for konstant tværsnitsareal: volumen = tværsnitsareal x søjlehøjde. Med artiklens notation V_ij = dxdy x h_ij.

Ligning (3) er et forsøg på at indarbejde effekten af en kraftpåvirkning på væskesøjleoverfladen hidørende fra "plasket". Effekten modelleres som et ekstra, ukendt, trykbidrag, som adderes til de statiske bidrag.

Hold da helt op!! 1000 MANGE TAK for hjælpen!

Har også et andet spørgsmål,

I ligning 4.) som er betegnet ved

a_ij->_kl = c(deltaP_ij->_kl) / m

er de følgende elementer bestemt ved,

c = tæversnits areal af rør som betegnes af artiklen som "Control Point", dvs de 9 rør som er med til at føre væske ind og ud af søjlen i position i,j

Mine spørgsmål er:
Hvorfor bruger man tværsnitsarealet c?
og
Hvad er deltaP_ij->_kl ??
Er det den totale trykforskel i søjlen og dens nabo søjler?

I denne ligning er Newtons 2. lov anvendt, omskrevet for at finde frem til accelerationen af flowet, er det korrekt?? Hvorfor vil man finde frem til accelerationen?

På forhånd endnu engang 100.000 tak!

Man er interesseret i væskens bevægelse. Bevægelsen er fastlagt alene ved accelerationen. Kendes acceleration kan om ønsket hastighed og position bestemmes ved integration. Accelerationen kendes ikke a priori. Derimod kendes de kræfter, der påvirker de enkelte masseelementer. Newtons anden lov giver koblingen mellem disse kræfter og de enkelte masselementers acceleration.

Som bekendt lyder Newtons anden lov F = m*a hvor F er summen af kræfterne virkende på massen m og som tildeler den acceleration a.

I det konkrete tilfælde er søjle [i,j] omgivet af en række nabosøjler eksemplificeret ved en tilfældig [k,l] af disse. På skillefladen mellem søjle [i,j] og nabosøjle [k,l] virker trykket P_(ij->kl). Tryk er kraft per arealenhed, og kraften F på masselementet i søjle [i,j] hidrørende fra trykket fra nabocelle [k,l] virkende på skillefladearealet c må derfor være F = c*P_(ij->kl). Ligning (4) fremkommer derefter ved indsættelse i Newtons anden lov.

Jeg ville påskønne om du kunne besvare de efterfølgende ligninger, da det er en kæmpe hjælp for mig at forstå disse fysiske principper.

F.eks. ved at udtrykke væskemassen (for de små rør) af længden l, som m = p x c x l, vil man være i stand til at genskrive ligning 4.) til ligning 5.):

5.)
aij -> kl = p x g(h_ij - h_kl) + E_ij - E_kl / pl

Mit spørgmsål: Hvad er det for en bevægelse man prøver at finde? Hvorfor er massen omskrevet, og hvorfor er det eksterne tryk fra de omkringliggende naboer inkluderet? Vil højden på disse ændres? Er det bevægelsen inden for hele arealet, dvs de 9 felter hvor søjler befinder sig??

og

Da man formoder at accelerationen er konstant for en periode, får man delta_t for flowet i et rør, Q_ij -> kl. Dvs. da man kender flowet (eller?) fra ij til kl, til tiden t, vil man få ligning 6:

6.) http://i45.photobucket.com/albums/f88/cadaverman/formel_6.gif

Hvad udtrykker den helt nøjagtigt? Og hvorfor indrykker man rørets tværsnits areal? Er det fordi man vil finde et samlet flow, eller er det fordi man kender den i forvejen? Jeg er lidt forvirret på dette område.

Ydermere er ændringen af volumen i søjle [i,j] defineret ved ligning

7.) http://i45.photobucket.com/albums/f88/cadaverman/formel_7.gif

Hvor delta_t ganget med summen, som er defineret ved alle de omkringliggende nabosøjler som tilhører positionen [i,j] og ganget med ligningen for den delta_flow? Eller hvordan skal dette forstås?

Beklager den lange smørre, men jeg er på bare bund, og har brug for hjælp!

På forhånd 1000 mange tak!

Formel (5) fremkommer af formel (4) ved at indsætte trykudtrykket fra ligning (3) i trykdifferencen delta_P_(ij->kl) = P_ij - P_kl og erstatte massen m (som er ukendt) med rho*c*l (som alle er kendte størrelser)

Formel (6) udtrykker at volumenstrømmen (Q med enhed m^3/s) til tiden t+dt tilnærmes som volumentrømmen til tiden t plus ændrigen i volumenstrømmen i det lille tidsinterval dt. Volumenstrømmen gennem en flade med areal A er givet ved flowhastighed*A. Ændringen i volumenstrøm er derfor givet ved ændringen i flowhastighed ganget arealet. Ændringen i flowhastighed er acceleration*dt.

Formel (7) tilnærmer blot volumenændringen ved summen af gennemsnitsværdierne af de samlede volumenændringer over alle skilleflader til nabosøjler. Volumenændringer er givet ved ændringer i volumenstrøm ganget med ændringstiden (i enhder: m^3 = m^3/s * s).

Jeg takker endnu engang!

Udfra det du skriver, og med hensyn på formel 5.) omdannet vha. formlerne 3.) og 4.), hvorfor lave den omskrivning overhoved? Der står nøjagtigt det samme, ikke sandt?

Hvis muligt, hvordan ser du på formel 8 og 9 ? Hvad repræsenterer de?

8.)
http://i45.photobucket.com/albums/f88/cadaverman/formel8.gif

(For alle søjler som ij med deres omkringliggende nabosøjler kl, tilhørende element intervallet æta_ij)
For at flowet skal være af samme størrelse i begge ender, skal den have modsat fortegn. Er dette ind- eller udstrømning af de omkringliggende nabosøjler, eller hvordan skal man forstå dette? Hvorfor negativ fortegn?

9.)
http://i45.photobucket.com/albums/f88/cadaverman/formel9.gif
Hvis en søjle har negativ volumen, vil alle rør som tømmer væske blive forkortet? Hvordan foregår det? Eller hvordan skal man forstå det?

Til sidst, hvad vil det sige at sætte flowet til 0 ? Definerer man en grænse (som f.eks. en væg som er med til at skubbe væsken tilbage?)

Der omdskrives til formel (5), som er det samme som formel (4), for at ende med et udtryk hvori udelukkende indgår de primitive variable, d.v.s. de variable, hvormed man modellerer systemet. Formel (4) kunne godt anvendes, men man ville alligevel skulle beregne trykdifferencen af (3) og masseelementet m; derfor kan de ligeså godt indarbejdes permanent i udtrykket. Desuden beskriver man jo systemet ved højderne h_ij, så under alle omstændigheder skal man bruge en relationen hvori de indgår.

Formel (8) udtrykker blot massebevarelse som, når fluidet er usammenstrykkeligt, er det samme som volumenbevarelse: hvad der strømmer ind i et volumen skal også strømme ud. Så hvis der transporteres 1 ml væske fra volumen kl til ij, så er volumenændringen Q_(ij->kl) = 1 ml medens nabovolument har mistet 1 ml så Q_(kj->il) = -1 ml. Formelt udtrykker (8) blot at summen af alle volumenændringer er nul svarende til at volumet er konstant ("bevaret").

Formel (9) er nødvendig for at sikre at beregningerne ikke bryder sammen. Der er foretaget adskillige simplificerende antagelser, og der er ingen grund til at forvente numerisk stabilitet af det resulterende beregningsskema. Formel (9) skal sikre at numerisk "støj" ikke fører til patologiske tilfælde af ufysiske volumener. Jeg ved ikke hvad "scaled back" indebærer.

At sætte flowet til nul er det samme som at sige "hertil og ikke længere". Det bruges til at påtrykke en grænsebetingelse svarende til en uigennemtrængelig væg.