transcendente tal?

Hvorfor bliver I ved med det vanvid ?!

Kommer lidt an på hvor dybt, du har lyst til at gå. Hvor mange ting, du vil antage for at beviset fungerer. Et muligt bevis er følgende (wikipedia):

Antag, at pi er algebraisk (dvs. løsning til et ikke-nultegrads-polynomium). Da tallet 2i er algebraisk vil tallet 2pi*i også være algebraisk. Vi finder nu jf. Eulers identitet:

exp(pi*i) + 1 = 0 <=>

exp(2pi*i) = 1

Ifølge Lindemann-Weierstrass-teoremet er exp(2pi*i) transcendent og dermed er 1 transcendent, hvilket er en modstrid...

Her antager vi selvfølgelig at Lindemann-Weierstrass-teoremet er sandt. Skal du bevise det, må du nok hellere kigge her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

Begrebet trancendens knytter sig til udvidelseslegemer. Lad L være et dellegeme af et legeme (K,+,*). (K,+,*) siges da at være et udvidelseslegeme for L. Et element a i K siges at være algebraisk over L, hviss a er rod i et polynomium fra L[x], d.v.s. hviss der findes et polynomium p(X) i polynomiumsringen L[x], så at p(a) = 0 (0 er den additive identitet i L hvilket _ikke_ behøver at være tallet 0). Et element i K, som ikke er algebraisk over L, siges at være transcendent over L.

Specielt forstås ved et algebraisk _tal_ et komplekst tal, som er algebraisk over Q. Et komplekst tal, som ikke er algebraisk, er transcendent. Et transcendent tal er derfor ikke rod i noget polynomium med rationale koefficienter.

Beviser for at givne tal er transcendente udspringer i regelen af det faktum at Q er tæt i R. Det betyder populært sagt, at ethvert reelt tal kan tilnærmes med arbitrær præcission ved et rationalt tal. Det medfører en række interessante slutninger som danner baggrund for Hermite's metode for transcendensundersøgelser. Det er for meget at gennemgå i foraret, så jeg vil blot henvise til en letlæst, kortfattet introduktion her:

http://web.maths.unsw.edu.au/~angell/5535/chapter3.ps

Transcendens kan også undersøges ved hjælp af endelige automata, en konstruktion fra den matematiske gren der kalder sig computer science. Jeg ved dog ikke særligt meget om netop denne metode.

Hvis du vil vide mere om ring- og legemeteorien skal du tage kurser i abstrakt algebra.

Tak for svarene! Og særligt tak for det sidste link! Jeg håber, jeg kommer til at gennemskue det, når jeg skal til at tage kurser i abstrakt algebra!

Jeg har bl.a. læst lidt i teksten i det sidste link - min viden om polynomier er ved at blive lidt rusten... Hvad er det nu, det betyder, at et polynomium er monisk?

Hvis f(X) er et polynomie i en polynomiumsring R[x], og ringen R har en multiplikativ identitet, så siges f at være monisk såfremt højestegradskoefficienten er 1 (den multiplikative identitet).

Er f.eks. f(X) et polynomie i ringen Z[X], givet ved f(X) = X²+7X+5, så er f monisk.