Matematik
Konstruktion af Q
09. november 2007 af
stræber-pigen (Slettet)
Er der ikke nogen, der har kan konstruere de rationalle tal på en smart måde? Den metode, jeg har, er tåget..
Svar #1
09. november 2007 af Euler (Slettet)
Se på mængden Z x Z\{0}. Vi definerer relationen:
(a1,b1) ~ (a2,b2) <=> a1*b2 = b1*a2. Relationen ~ er en ækvivalensrelation, da vores udtryk er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Ækvivalensklassen [(a,b)], hvori (a,b) ligger, noteres også a/b (det kalder vi en brøk). Mængden af ækvivalensklasser kalder vi Q (de rationale tal).
Hermed er a1/b1 = a2/b2 <=> a1*b2 = b1*a2, og vi kan definerer addition og multiplikation på Q (mængden af ækvivalensklasser) således
a1/b1 + a2/b2 = (a1 * b2 + a2 * b1) / (b1 * b2),
a1/b1 * a2/b2 = (a1 * a2) / (b1 * b2).
Dermed har vi injektionen Z -> Q, og ethvert tal x tilhører Z\{0} har et inverts tal i Q, som er 1/a; a/1 * 1/a = 1/1.
(a1,b1) ~ (a2,b2) <=> a1*b2 = b1*a2. Relationen ~ er en ækvivalensrelation, da vores udtryk er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Ækvivalensklassen [(a,b)], hvori (a,b) ligger, noteres også a/b (det kalder vi en brøk). Mængden af ækvivalensklasser kalder vi Q (de rationale tal).
Hermed er a1/b1 = a2/b2 <=> a1*b2 = b1*a2, og vi kan definerer addition og multiplikation på Q (mængden af ækvivalensklasser) således
a1/b1 + a2/b2 = (a1 * b2 + a2 * b1) / (b1 * b2),
a1/b1 * a2/b2 = (a1 * a2) / (b1 * b2).
Dermed har vi injektionen Z -> Q, og ethvert tal x tilhører Z\{0} har et inverts tal i Q, som er 1/a; a/1 * 1/a = 1/1.
Svar #2
09. november 2007 af stræber-pigen (Slettet)
#1 Tak. Det gav mere mening end det andet jeg sad med..
Svar #3
20. november 2007 af The Master (Slettet)
undskyld, men er de rationalle tal ikke noget man bare definerer? jeg kan ikke se hvorfor man konstruerer det ??
Skriv et svar til: Konstruktion af Q
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.