Matematik
stationære punkter
jeg sidder med en opgave, hvor man skal finde stationære punkter og afgøre om det er tale om en maximum, minimum eller saddel punkt..
har fundet to stationære punkter (x,y) = (0,0) og (x,y) = (1,-1) proplemet er bare at jeg ved ikke helt hvordan man kan afgøre om det er maximum, minimum eller saddel!
Håber nogen kan hjælpe
på forhånd takker
Svar #1
29. november 2007 af mathon
ekstrema for f(x,y) kan kun forekomme
i
1) grænsepunkter af funktionens definitionsdomæne
2) indre punkter hvor f_x = f_y = 0 eller punkter hvor f_x eller f_y ikke eksisterer. (Dette er f's ekstremapunkter).
Hvis f og dens første og anden partielt afledede er kontinuerte i en åben skive indeholdende (a,b), og hvis f_x(a,b) = f_y(a,b) = 0,
gælder
1) f_xx0 i (a,b) => lokalt maksimum
2) f_xx>0 og f_xx*f_yy - (f_xy)^2>0 i (a,b) => lokalt minimum
3) f_xx*f_yy - (f_xy)^2 saddelpunkt
4) f_xx*f_yy - (f_xy)^2=0 i (a,b) => testen er konklusionsløs
Svar #2
29. november 2007 af sigmund (Slettet)
df²/dx² df/(dx dy)
df/(dy dx) df²/dy²
Hvis Hesse-matricen i et punkt er positiv definit (dvs. hvis alle egenværdier er positive), så er punktet et minimum. Er Hesse-matricen negativ definit (alle egenværdier er negative), er punktet et maksimum. Hvis Hesse-matricen slutteligt er indefinit (har både positive og negative) egenværdier, er punktet et saddelpunkt.
Svar #3
29. november 2007 af sigmund (Slettet)
Jeg skal tilføje, at Hesse-matricen udtaler jeg om _lokale_ minima eller maxima.
Svar #5
29. november 2007 af mathon
se
http://www.peecee.dk/index.php?id=81830
Svar #6
29. november 2007 af sandybelle (Slettet)
først vil jeg lige sige mange tak for hjælpen... men har nogle spørgesmål, som jeg håber i kan hjælpe mig med =)
1. når du skriver f_x = f_y = 0 mener du så f'x = f'y = 0 altså (df/dx) =(df/dy) = 0 eller er det noget andet du mener?
2. du skriver "eller punkter hvor f_x eller f_y ikke eksistere" mener du når jeg taste mine x og y værdier ind i funktionsforskriften og får ingen løsning? eller hvornår? altså er det nå min funktion ingen løsning har?
3. kunne rigtigt godt forstå forstå forklaringen med hessematricen, dog har jeg haft det for længere længere siden, så kan desværre ikke huske hvordan man finde
df/(dx dy) og df/(dy dx) skal jeg gange f'x med f'y og differencere eller hvad skal man her?
på forhånd mange 1000 tak!
håber virkelig at i kan hjælp mig videre!
Svar #7
29. november 2007 af sandybelle (Slettet)
endnu engang mange tak
Svar #8
29. november 2007 af sigmund (Slettet)
Med f_xy menes den afledte af f, først mht. og så mht. y. Lad mig som et eksempel tage g(x,y) = x²+y². Her er g_x = 2x+y². For at finde g_xy, differentieres g_x mht y. Således er g_xy = 2x+2y.
Hjalp det?
Svar #9
30. november 2007 af sigmund (Slettet)
Jeg er nødt til at rette min fejl i #8. g_x er selvfølgelig _ikke_ 2x+y², men kun 2x. Derfor er g_xy = 2.
Svar #10
30. november 2007 af mathon
et andet eksempel:
f(x,y) = y*sin(xy)
f_x = y*cos(xy)*y = y^2*cos(xy)
f_xx = -y^2*sin(xy)*y = -y^3*sin(xy)
f_y = 1*sin(xy)+y*cos(xy)*x = sin(xy)+xy*cos(xy)
f_yy = cos(xy)*x + x*cos(xy) + xy(-sin(xy)*x) = 2x*cos(xy)-x^2y*sin(xy)
f_xy = 2y*cos(xy)-y^2*sin(xy)*x = 2y*cos(xy)-xy^2*sin(xy)
f_yx = cos(xy)*y+y*cos(xy)-xy*sin(xy)*y = 2y*cos(xy)-xy^2*sin(xy)
i overensstemmelse med
gyldigheden
af
f_xy = f_yx
Svar #11
01. december 2007 af sandybelle (Slettet)
siger mange mange 10000 tak for jeres hjælp og tid... var helt lost i denne opgave =)
Skriv et svar til: stationære punkter
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.