Bevis at log(1-x) = x for små værdier af x

Der gælder nu ln(1+x) er nær x for x lille.
Det hænger sammen med at ln(x) er differentiabel og ln(x)' = 1/x
Dette kan sættes ind i f(x+h) = ca. f(x)+f'(x)h hvilket løst sagt svarer til definitionen af differentiabilitet og differentialkoefficient.
Du kan evt. søge på Taylor rækker.

#0
Det er svært at vise eftersom det er forkert.

Taylor-udvikler vi funktionen f(x) = log(x), så får man til første orden funktionen f_taylor(x) = x - 1.

Vi får derfor din funktion f_taylor(1-x) = (1-x) - 1 = -x.

Du glemte vist et minus...

Bemærk iøvrigt, at jeg snakker om funktionen log(x) (også kaldet ln(x)) og IKKE log[10](x).

I har selvfølgelig helt ret, jeg vil vise at ln(x+1) ~ x for meget små værdier.

Jeg har fundet et bevis, som ikke er særlig svært at forstå, men jeg ved ikke hvor præcist det er.
Vil I lige checke det?

e er defineret som
e = (1 + 1/n)^n for n -> uendelig

Dvs.
e^x = ((1 + 1/n)^n)^x for n -> uendelig

Hvis n^x = m, så giver det
e^x = (1 + 1/m)^m for m -> uendelig (1)

Jeg vil gerne vise, at
e^x ~ 1 + x (2)
hvis x er lille i forhold til 1.
Hvis nogle talværdier sættes ind ind for m, fx m = 1, giver det:
(1 + x/1)^1 = 1+x
for m = 2:
(1 + x/2)^2 = 1 + 2x/2 + x^2 = 1 + x + x^2 ~ 1 + x, da x^2 vil være meget lille, hvis x er meget lille
for m = 3:
(1 + x/3)^3 = 1 + 3x/3 + ... led hvor x^2 og x^3 indgår, som vil være små, da x er lille
dvs. generelt:
(1 + x/m)^m = 1 + m*x/m + små led med x^m, x^(m-1) etc.

Dermed er (2) vist, nemlig at e^x = 1+x, hvis x er lille. ln tages så på begge sider
ln(e^x) = ln(1+x) <=>
x = ln(1+x)

(har rodet lidt rundt i = og ~, men forhåbentlig forstår I meningen.)
Er det matematisk nok til at være et bevis? Det minder mig lidt om bevist for (x^n)' = n*x^(n-1).

I sidste sætning:
bevist = beviset

Hov, er e nu defineret sådan?
På wikipedia står der bare, at e kan repræsenteres sådan... så skal
e = (1 + 1/n)^n for n -> uendelig
forklares/udledes?

Hvis jeg nu skulle vise at ln(1-x) = -x, er det så nok at sige at x har en negativ værdi, eller ville det være nødvendigt at lave det samme bevis, bare med 1/e = (1 - x/n)^n for n gående mod uendelig. Det ville vel ikke være nødvendigt?

Jeg har i hvert fald aldrig set e defineret på den måde. jeg har ser 2 definitioner for e.
Den ene går på at man definerer ln(x) som en stamfunktion til 1/x med
ln(1) = 0 og dernæst definerer e^x som den inverse til x. I den anden defineres e^x ud fra en uendelig række nemlig funktionens Taylorrække og denæst ln(x) som den inverse til e^x.

Hvis man holder sig til den første definition gælder der ln(x)'=1/x og
ln(1) = 0.

Hvis man ser på definitioen af den afledede så er den defineret som grænseværdien for (f(x+h)-f(x))/h for h ->0 er f'(x). Dette kan også skrives som (f(x+h)-f(x))/h = f'(x) +O(h) hvor O(h) er en funktion, der går mod 0 for h -> 0. Ganger man dette over med h får man

f(x+h) -f(x) = f'(x)h + O(h)h <-> f(x+h) = f(x)+f'(x)h + O(h)h.

Man kan faktisk godt definere differentialkoefficienten og differentiabilitet ud fra den sidste relation. Sætter du her f(x)= ln(x), f'(x) = 1/x får du

ln(x+h) = ln(x) +h/x + O(h)h

Sætter du dernæst x = 1 får du

ln(1+h) = 0 +h/1 + O(h)h = h +O(h)h

For tilstrækkelig små h bliver det sidste led ubetydelig. Dermed har du de søgte tilnærmelse.

Tusind tak, det er et godt og letforståeligt bevis, så det vil jeg nok bruge frem for det andet.
Tak skal du have!