Komplekse tal

Jeg formoder, at I har lært om cos og sin vha. Eulers formler, som udtrykker dem vha. den komplekse eksponentialfunktion:

cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2

og et lignende udtryk for sin. Hvis du opløfter disse i 2. potens og regner løs og overholder regneregler for brøker, komplekse tal, potenser af e og benytter kvadratsætningerne, så følger resultatet. Jeg får

cos^2(z) = (e^(2iz)+e^(-2iz))/4 + ½
og
sin^2(z) = -(e^(2iz)+e^(-2iz))/4 + ½

Hvorfor de "grimme" led med e forsvinder og ½+½ = 1 står tilbage. Spørg igen, hvis det ikke vil lykkes.

Man kan også bare vise det ved at udregne |exp(iz)|^2 ("||^2" angiver absolut kvadrat - se definitionen her: http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteSquare.html). Der gælder selvfølgelig, at

| exp(iz)|^2 = exp(iz)*exp(-iz) = 1 (1)

Ved eulers identitet kan man dog få:

| exp(iz) |^2 = | cos(z)+i*sin(z)|^2
= (cos(z)+i*sin(z))*(cos(z)-i*sin(z))
=cos(x)^2+sin(x)^2 (2)

ved at sammenligne (1) og (2) kan man derfor se, at cos(x)^2+sin(x)^2 = 1.