Matematik

Anden ordens differential ligning - fuldstændig løsning.. hjælp

05. februar 2008 af KlasV (Slettet)

Hej Folkens!

Jeg har fået til opgave at skulle bevise og forklare at den fuldstændige løsning til differentialligningen:
y''=-k^2*f(x) er f(x)=c_1*coskx + c_2*sinkx

Altså beviset kører således:
Vi starter med at diffinere to funktioner:
g(x)=f(x)*coskx-1/k*f'(x)*sinkx
h(x)=f(x)sinkx+1/k*f'(x)coskx

Så starter man med at differentiere g(x) og får

g'(x)=f'(x)*coskx-k*f(x)*sinkx-1/k*f''(x)sinkx-1/k*f'(x)k*coskx
=-kf(x)sinkx - 1/k(-k^2f(x))sinkx=0

Jeg forstår godt den første del hvor de differentierer g(x) men når de begynder at reducere udtrykket g'(x) så står jeg lidt af.. Jeg kan ikke se hvordan de kan rykke det hele uden for parentes. Er der nogle der kan forklare mig hvorfor de gør som de gør og evt. med nogle regneregler?

Mange hilsner Kv

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. februar 2008 af mathon

f(x)=c1*cos(kx) + c2*sin(kx)

f'(x) = -c1*k*sin(kx) + c2*k*cos(kx) = k[-c1*sin(kx) + c2*cos(kx)]

f''(x) = k[-c1*k*cos(kx) - c2*k*sin(kx)] = -k^2[c1*cos(kx) + c2*sin(kx)]

f''(x) = -k^2*f(x)

Svar #2
05. februar 2008 af KlasV (Slettet)

Tjoeh... Det der er jeg med på.. Det er bare de c1 og c2 funktioner, hvoe jeg ikke helt forstår reduceringen af det differentierede udtryk oppe i det jeg selv har skrevet.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. februar 2008 af mathon

er c_1 og c_2 ikke konstanter?

Svar #4
05. februar 2008 af KlasV (Slettet)

Jo.. men de er udledt af de to funktioner jeg har skrevet g(x) og h(x)

Det er differentieringen af de to funktioner jeg ikk er helt med på

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. februar 2008 af mathon

g(x) = f(x)*cos(kx)-1/k*f'(x)*sin(kx)

g'(x) = f'(x)*cos(kx)-kf(x)*sin(kx)+1/(k*f'(x)*sin(kx))^2[k*f''(x)*sin(kx)+k^2*f'(x)*cos(kx)]

g'(x) =
f'(x)*cos(kx)-kf(x)*sin(kx)+[k*f''(x)*sin(kx)+k^2*f'(x)*cos(kx)]/(k*f'(x)*sin(kx))^2

g'(x)= [f'(x)+k^2*f'(x)/(k*f'(x)*sin(kx))^2]cos(kx)+[k*f''(x)/(k*f'(x)*sin(kx))^2-kf(x)]sin(kx)

Svar #6
06. februar 2008 af KlasV (Slettet)

Tak for svarene.. Har forstået beviset :)

Skriv et svar til: Anden ordens differential ligning - fuldstændig løsning.. hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.