Fysik
differential ligninger.
23. februar 2008 af
Bumster (Slettet)
Hej. Håber nogen kan hjælpe´.
sådan lyder opgave formuleringen:
En cykelrytter kører på sin cykel på en lang, lige og flad vej. Han og hans cykel vejer tilsammen 80kg. Antag at cykelrytteren og hans cykel er et punkt med masse 80kg, at dette pkt opfylder Newtons 2.lov, og at dette punkt er påvirket af to kræfter: en samlet gnindnings- og luftmodstand samt den kraft cykelrytteren producerer ved at træde rundt i pedalerne. Lad t være tiden der er gået fra cykelrytteren startede. Antag at kraften der skyldes gnindnings- og luftmodstand er proportinal med rytterens hastighed, og at proportionalfaktoren er 0,08 kg/s, og antag at den kraft cykelrytteren porducerer ved at træde rundt i pedalerne er 3e^(-kt)N hvor k = 0,001/s.
Bemærk at k er forholdet mellem punktets masse og den proportionalfaktor der bestemmer gnidnings- og luftmodstandskraften. Lad u(t) være afstanden cykelrytteren har tilbagelagt siden cykelrytteren startede, betragtet som en fkt af t.
A) opstil en 2. ordens lineær inhomogen differentialligning hvortil u(t) er en løsning.
b) Antag at rytterens hastighed er 0 til tiden t=0, bestem u(t).
C) bestem hvor mange minutter der går fra cykelrytteren starter til han har kørt 300km.
D) bevis at ligemeget hvor længe han kører, vil han aldrig nå 400km væk fra begyndelsespunktet.
Håber meget nogen kan hjælpe. gerne med en uddybende forklaring... er ikke skarp i dette fag.
På forhånd tak.
sådan lyder opgave formuleringen:
En cykelrytter kører på sin cykel på en lang, lige og flad vej. Han og hans cykel vejer tilsammen 80kg. Antag at cykelrytteren og hans cykel er et punkt med masse 80kg, at dette pkt opfylder Newtons 2.lov, og at dette punkt er påvirket af to kræfter: en samlet gnindnings- og luftmodstand samt den kraft cykelrytteren producerer ved at træde rundt i pedalerne. Lad t være tiden der er gået fra cykelrytteren startede. Antag at kraften der skyldes gnindnings- og luftmodstand er proportinal med rytterens hastighed, og at proportionalfaktoren er 0,08 kg/s, og antag at den kraft cykelrytteren porducerer ved at træde rundt i pedalerne er 3e^(-kt)N hvor k = 0,001/s.
Bemærk at k er forholdet mellem punktets masse og den proportionalfaktor der bestemmer gnidnings- og luftmodstandskraften. Lad u(t) være afstanden cykelrytteren har tilbagelagt siden cykelrytteren startede, betragtet som en fkt af t.
A) opstil en 2. ordens lineær inhomogen differentialligning hvortil u(t) er en løsning.
b) Antag at rytterens hastighed er 0 til tiden t=0, bestem u(t).
C) bestem hvor mange minutter der går fra cykelrytteren starter til han har kørt 300km.
D) bevis at ligemeget hvor længe han kører, vil han aldrig nå 400km væk fra begyndelsespunktet.
Håber meget nogen kan hjælpe. gerne med en uddybende forklaring... er ikke skarp i dette fag.
På forhånd tak.
Svar #1
24. februar 2008 af goathunter (Slettet)
Først laver man en analyse af hvilke kræfter der virker på rytteren, som er gnindningskraften og rytter-kraften, da de er modsatrettede og gnindningskraften må være mindst kan vi skrive:
m*a = Fres = e^(-kt) - b*v
hvor b er de 0,08. Ovenstående omskrives idet der deles med m på begge sider og indses at a = u''(t) og v = u'(t)
u''(t) = e^(-kt)/m - b*u'(t)/m
som er ensbetydende med at:
u''(t) + b/m*u'(t) = e^(-kt)/m
Der er hermed svaret på første opgave (du skal så sætte tal ind).
For at løse opgave vil jeg vælge, idet u''(t) = v'(t) og u'(t)=v(t), omskrive differentialligningern til en 1. ordens:
v'(t) + b/m*v(t) = e^(-kt)/m
Dette løses ved en sætning fra matematik som siger:
Hvis en funktion f opfylder at f'(x) + g(x)*f(x) = h(x) for alle x i et åbent interval I, hvor g og h er kontinuerte funktioner i I, så findes der en konstant c så f(x) = e^(-G(x))*integral(h(x)*e^(G(x))dx+c)
Prøv at se om du ikke selv kan komme videre herfra.
m*a = Fres = e^(-kt) - b*v
hvor b er de 0,08. Ovenstående omskrives idet der deles med m på begge sider og indses at a = u''(t) og v = u'(t)
u''(t) = e^(-kt)/m - b*u'(t)/m
som er ensbetydende med at:
u''(t) + b/m*u'(t) = e^(-kt)/m
Der er hermed svaret på første opgave (du skal så sætte tal ind).
For at løse opgave vil jeg vælge, idet u''(t) = v'(t) og u'(t)=v(t), omskrive differentialligningern til en 1. ordens:
v'(t) + b/m*v(t) = e^(-kt)/m
Dette løses ved en sætning fra matematik som siger:
Hvis en funktion f opfylder at f'(x) + g(x)*f(x) = h(x) for alle x i et åbent interval I, hvor g og h er kontinuerte funktioner i I, så findes der en konstant c så f(x) = e^(-G(x))*integral(h(x)*e^(G(x))dx+c)
Prøv at se om du ikke selv kan komme videre herfra.
Skriv et svar til: differential ligninger.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.