Leibniz's pi række...

S 1/(1+x^2)=arctanx

Nu er tanken oplagt;)

Leibniz' række er et specialtilfælde af arctan-rækken, vist af skotten John Gregory i 1671. Lad os derfor vise arctan-rækken, som dog kun gælder for -1
Gang derefter med x^2 på begge sider:

Lægges (*) og (**) sammen, og isoleres f(x), fås

Således er

En stamfunktion til f(x) er (på grund af forummets manglende evne til at fortolke store bogstaver i LaTeX-kode, kalder jeg stamfunktionen g(x))

men samtidig er arctan(x) også en stamfunktion til f(x), hvorfor vi kan skrive

Det, som skiller to stamfunktioner til samme funktion, er en konstant, k, hvorfor vi får

Fra arctan(0)=0 fås k=0, og vi konkluderer, at


Som sagt, så gælder arctan-rækken kun i intervallet -1
som for x=1 giver

da arctan(1)=pi/4.

Beviset for arctan-rækken skrev jeg i den større skriftlige opgave i 3. g i 2003. Opgaven handlede om udviklingen af beregningsmetoder for pi. Beviset er fra Torben Svendsen: Bogen om pi, Forlaget Systime A/S, Herning 1994.

Hej igen...

Jeg sidder selv med bogen om pi.. men kunne ikke rigtigt finde noget om leibniz... men er det så fordi at hans metode næsten er den samme som Geororys metode eller hvorledes hænger det sammen...?

Hej igen...

Jeg sidder selv med bogen om pi.. men kunne ikke rigtigt finde noget om leibniz... men er det så fordi at hans metode næsten er den samme som Geororys metode eller hvorledes hænger det sammen...?

Ja, som sagt, så fås Leibniz' række som et specialtilfælde af Gregorys arctan-række. Hvem kom først, ved jeg ikke, men sandsynligvis har de udviklet rækkerne uafhængigt af hinanden.

PS: Vær opmærksom på, at det sidste er spekulationer fra min side; jeg har intet konkret at bygge det på.

Meget muligt at det sidste bare næsten er ren skekulation men det passer jo, så mon ikke der er noget om det... :)