Matematik

Eksamensopgave; Vektorer i rummet

03. maj 2008 af :D (Slettet)

Hej Alle :)
Jeg er gået i stå med opgave nummer 3 i nedstående opgavesæt - håber derfor der er nogle der kunne komme med nogle hints:

http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/sommer07/syge07/2007-8-5_Med.pdf

a) Kunne jeg her sige, at T er min normalvektor, B er det faste punkt også kunne C være det vilkårlige punkt i min ligning for planen?

b) Her skal jeg vel bare bruge sætningen der hedder "vinkel mellem to planer", hvor BCT har en normalvektor der hedder T(0,0,15).

c) Her skal jeg vel bruge sætningen "Afstand fra punkt til plan" - altså distformlen?

d) Kan jeg ikke rigtig gennemskue.

Håber der er nogle der kan fortælle mig om, de overvejelser jeg har gjordt mig er korrekte eller ej - for så er det vel bare med at gå i krig med opgaven.

På forhånd mange tak,
:D

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. maj 2008 af ibibib (Slettet)

a) Nej. Bestem to retningsvektorer i planen, fx BT og BC. Krydsproduktet af disse to er planens normalvektor.

b) Ja, bestem vinklen mellem to normalvektorer.

c) Ja.

d) Du har vel en formel til at beregne afstanden mellem en linje og et punkt?

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)

ad a: Normalvektoren kan udregnes som krydsproduktet mellem to vektorer som udspænder planen (brug to af punkterne B, C og T til at udregne den ene vektor og dernæst to punkter (ikke begge to må være de samme) til at udregne den anden vektor). Det faste punkt kan være et hvilket som helst af de tre: B, C og T. Det vilkårlige punkt er bare (x,y,z).

ad b: Du er vidst på rette spor, men jævnfør ovenstående angående normalvektoren til planen som indeholder trekant BCT.

ad c: Fint.

ad d: Hvis linjen gennem A og T kaldes l_AT, så er afstanden fra O til l_AT givet ved: dist(O,l_AT) = |r x PoP|/|r|, hvor |r| er længden af retningsvektoren r for l_AT (denne retningsvektor fremstilles vha. de to punkter) og |r x P_0O| er længden af krydsproduktet mellem r og P_0O (som er vektoren med begyndelsespunktet P_0 (som enten er A eller T) og slutpunktet O)

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)

#2 Rettelse:

dist(O,l_AT) = |r x PoP|/|r|
--->
dist(O,l_AT) = |r x P_0O|/|r|

Svar #4
03. maj 2008 af :D (Slettet)

Hey :)
Tusind tak for jeres hjælp - nu tror jeg jeg er med på, hvad det hele nu drejer sig om :) Jeg har lige hurtigt regnet opgave a igennem:

Opgave a:

r = BT = (0-10),(0-10),(15-0) = (-10, -10, 15)

r = BC = (-10-10),(10-10),(0-0) = (-20, 0, 0)

n = BT x BC = (-10 * 0 - 15 * 0), (15*(-20)-(-10)*0), ((-10)*0-(-10)*(-20)) = (0,-300,-200)

0(x-0) - 300(y-0)-200(z-15)=0

-300y - 200z + 3000 = 0

Er dette rigtig regnet?

På forhånd mange tak,
:D

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)

#4 Så vidt jeg kan se, ja. Dog kan man ikke kalde både BT og BC for r, da de er forskellige, men det er formalia, som efter min mening er af mindre betydning (ret det imidlertid)

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. maj 2008 af sigmund (Slettet)

#4,

For at tjekke resultatet, undersøg, om punkterne opfylder den ligning, du har fundet.

Svar #7
03. maj 2008 af :D (Slettet)

#5) Okay så fjerner jeg bare de to r - det var bare mere så jeg selv kunne huske, at krydsproduktet mellem to vektorer er en lille normalvektor :) Og jeg var egentlig hellere ikke helt klar over at en retningsvektor svarede til eksempelvis BT - men nu ved jeg det, heldigvis :)

Jeg tror jeg smutter hen til og regner resten af matematikopgaverne igennem :)

Tusind tak for hjælpen,
:D

Svar #8
03. maj 2008 af :D (Slettet)

#6) Det er jeg ikke helt med på, hvordan man gør. Kunne du forklare det lidt nærmere?

Hilsen,
:D

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)

#8 Hvis du sætter koordinaterne til punkterne ind i ligningen, skal udsagnet være sandt, hvis det er en rigtig ligning, du er kommet frem til.

Svar #10
03. maj 2008 af :D (Slettet)

#9) Sejt nok! Det må jeg sige - det var et fedt trick :)
Nu vil jeg prøve at regne resten af opgaverne igennem :)

Endnu engang mange tak,
:D

Svar #11
03. maj 2008 af :D (Slettet)

Hey Benjamin :)
Jeg har desværre ikke forstået, hvordan opgave d skal løses - kunne du skære det lidt mere ud i pap. Jeg er med på de betegnelser du kommer med, men er ikke rigtig med på, hvordan jeg skal finde retningsvektorer såvel som krydsprodukt - eller hvad det nu er du mener.

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Jeg er ikke Benjamin, men du kan nok bruge svaret alligevel: se http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html, specielt formel (9).

Brugbart svar (0)

Svar #13
03. maj 2008 af sigmund (Slettet)

Jeg glemte en ting: læg desuden mærke til, hvordan formelen bliver udledt; det handler om at minimere den euklidiske afstand mellem det faste punkt og et punkt, der løber på linjen.

Skriv et svar til: Eksamensopgave; Vektorer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.