Matematik
Udledelse af formlen for halverings- og fordoblingskonstanten
07. juni 2008 af
TheWB (Slettet)
Hvis man har om vækstmodeller, og skal gøre rede for brugen af lineære funktioner, potensfunktioner og eksponentialfunktioner som vækstmodeller, er det så nogen sammenhæng i også inden for samme emne, at skulle udlede halverings- og fordoblingskonstanten?
Altså forskriften for halv. og fordoblings. er f(x)=b*a^x hvilket en eksponentiel funktion også har, der kan jeg se en sammenhæng, men jeg fatter bare ikke helt om det hænger sammen med hinanden eller om det rent faktisk er to forskellige opgaver?
Har det noget at gøre med, at vi også bruger vækstrater begge steder?
Altså forskriften for halv. og fordoblings. er f(x)=b*a^x hvilket en eksponentiel funktion også har, der kan jeg se en sammenhæng, men jeg fatter bare ikke helt om det hænger sammen med hinanden eller om det rent faktisk er to forskellige opgaver?
Har det noget at gøre med, at vi også bruger vækstrater begge steder?
Svar #1
07. juni 2008 af –Zeta– (Slettet)
Dig spørgsmål er uklart. Fordoblingskonstanten hhv. halveringskonstanten er:
T_2 = log a / log 2, og
T_½ = log ½ / log 2
Hvis du vil bevise fx fordoblingskonstaten, kan du tage udgangspunkt i, at det må gælde, at:
2*f(x) = f(x + T2)
hvor T_2 er den vejlængde på x-aksen som du skal bevæge dig, for at funktionsværdien er fordoblet. Endvidere fås:
2*b*a^x = b*a^(x+T_2)
Vi dividerer igennem med b.
2*a^x = a^(x+T_2)
Ifølge en potensregneregel gælder det at n^(p+q) = n^p * n^q, hvorfor
2*a^x = a^x*a^T_2
Vi dividerer nu igennem med a^x
2 = a^T_2
Vi benytter logaritmeregnereglen log(n^p) = p*log n. Dermed haves:
log 2 = T_2 * log a
Hvis T_2 isoleres fås
T_2 = log 2 / log a
T_2 = log a / log 2, og
T_½ = log ½ / log 2
Hvis du vil bevise fx fordoblingskonstaten, kan du tage udgangspunkt i, at det må gælde, at:
2*f(x) = f(x + T2)
hvor T_2 er den vejlængde på x-aksen som du skal bevæge dig, for at funktionsværdien er fordoblet. Endvidere fås:
2*b*a^x = b*a^(x+T_2)
Vi dividerer igennem med b.
2*a^x = a^(x+T_2)
Ifølge en potensregneregel gælder det at n^(p+q) = n^p * n^q, hvorfor
2*a^x = a^x*a^T_2
Vi dividerer nu igennem med a^x
2 = a^T_2
Vi benytter logaritmeregnereglen log(n^p) = p*log n. Dermed haves:
log 2 = T_2 * log a
Hvis T_2 isoleres fås
T_2 = log 2 / log a
Svar #2
07. juni 2008 af –Zeta– (Slettet)
Halveringskonstanten udledes i øvrigt på samme måde som i #1. Her udskiftes T_2 blot med T_½, og der skrives ½*f(x) i stedet for 2*f(x).
#1.
Stavefejl: Dig --> Dit
#1.
Stavefejl: Dig --> Dit
Svar #3
07. juni 2008 af TheWB (Slettet)
Tak for hjælpen. Jeg regnede også med, at det var det man skulle gøre, men altså jeg tror du forstår hvad jeg mente, selvom det er en del uklart det jeg har skrevet. :)
Skriv et svar til: Udledelse af formlen for halverings- og fordoblingskonstanten
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.