hvordan man via. parallelforskydning finder symmetri aksen og toppunkt?

det kan vises,
at
en reel funktion
y = f(x)
som er parallelforskudt (h,k)
får ligningen
y = f(x-h)+k

altså
y = f(x) parallelforskudt (h,k) <=> y = f(x-h)+k

y = ax^2+bx+c = a(x-(-b/(2a)))^2 + (-d/(4a)) <=> y = ax^2 parallelforskudt (-b/(2a),-d/(4a))
dvs.

y = ax^2 med toppunkt (0,0) og symmetriakse x=0 forskydes over i (-b/(2a),-d/(4a)), som er toppunkt for
a(x-(-b/(2a)))^2 + (-d/(4a))
og dermed for
y = ax^2+bx+c
og symmetriakse

x = -b/(2a)

udledelse i detaljer:

P er grafen for {(x,y)|y = ax^2}

x' = x+h <=> x = x'-h
og
y' = y+k <=> y = y'-k

P' er grafen for {(x',y')|y'-k = a(x'-h)^2}
eller
skrevet
P' er grafen for {(x',y')|y' = a(x'-h)^2 + k}

...og når sammenhængen ER indset og man derfor ikke længere har brug for at sondre mellem (x,y) og (x',y')
skrives "mærkerne" almindeligvis ikke

hvorfor
P: {(x,y)|y = a(x-h)^2 + k}

hvis parallelforskydningen således er ((-b/(2a));(-d/(4a)))
fås

a(x-(-b/(2a)))^2 + (-d/(4a)) = ax^2 + bx + c



...men hvorfor nu vælge denne ved første øjekast besynderlige
parallelforskydning (-b/(2a);-d/(4a)):

a(x-h)^2 + k = a(x^2-2hx+h^2) + k = ax^2 + (-2ah)x +(ah^2+k)
hvis
formen ax^2 + bx + c ønskes,
kræves

b = -2ah <=> h = (-b/(2a))
og
c = ah^2+k <=> a*(-b/(2a))^2+k = b^2/(4a)+k
hvoraf

k = (4ac-b^2)/(4a) = -(b^2-4ac)/(4a) = -d/4a
hvoraf

(h,k) = (-b/(2a),-d/(4a))