Matematik
De Matematiske Lege
Til dem af jer, der ikke synes at sommervejret er værd at bevæge sig ud i - og samtidig ikke har andet at lave - kan jeg da lige poste nogle simple opgaver. De skulle alle gerne kunne løses med kendskab fra matematik A i gymnasiet. Universitetsstuderende eller andre må gerne deltage, men bør holde igen med at løse _samtlige_ opgaver.
--------- De lette --------
Opgave 1
Hvor mange personer skal en gruppe mindst bestå af, hvis sandsynligheden, for at netop to personer ud af gruppen har fødselsdag på samme dag, er større end ½?
Opgave 2
Vis, at
Opgave 3
Forestil dig, at Jorden er en perfekt kugle og at en metalwire lægges stramt rundt om jordoverfladen. Derefter tilføjes 1 m wire til den ene ende af wirenen, hvilket forårsager, at wirene bliver en smule slap. Hvis dette udlignes hele vejen rundt om Jorden, hvor højt vil wireren løftes over overfladen på Jorden?
Opgave 4
Det vides, at
Hvad er værdien af nedenstående?
--------- De sværere --------
Opgave 1
Find alle par af hele positive tal m og n, så
Opgave 2
Hvad er den gennemsnitlige afstand mellem to vilkårlige punkter inden for
en kugle med radius 1?
--------- Bonus opgave --------
Betragt nedenstående række af tal. Hvad er det næste tal i rækken?
Svar #1
27. juni 2008 af DanielPetersen (Slettet)
Svar #2
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Du burde ikke lægge "Fødselsdagsproblemet" ind som en opgave. Folk kan google hele løsningen :)
Jeg har lavet alle opgaverne. De er ret sjove. Jeg synes, at de andre skal have en chance for at løse dem, da man kan løse dem ud fra sin gym-viden.
Opg. 2
(6+j)^0,5 = j => j^2-j-6, hvor vi ser at j=3 er en løsning.
Tilsvarende kan vi vise at 1/(2+1/(2+...)) = 2^0,5.
Man kan også vise, at phi = 1 + 1/(1+1/(1+1/(1+...))) = 1,618...
Svar #5
27. juni 2008 af Tal-Pædagog (Slettet)
Svar #11
27. juni 2008 af math-freak++ (Slettet)
Svar #13
27. juni 2008 af DennisDeH (Slettet)
--
Opg 1:
Rent sandsynlighedsmæssigt i en hamoniseret og perfekt sammensætning af mennesker, vil der ud af 365,25 (kaldet A) personer være 1 der har fødselsdag hver dag. Således vil sandsynligheden være at 2 har fødselsdag samme dag være en mængde på 2 A personer, eller 730.5.
Opg 2:
sqrt(6) = 2.44949... derfor vil der siden der er uendelig mange der adderes til radikanten, give sqrt(9)
sqrt(9) = 3
Opg 3:
Jordens omkreds O er givet ved 2*r_1*pi. Ved forlængelse af omkredsen med 1m, vil den nye radius for stålwirens omkredsning af jorden O+1 være 2*r_2*pi.
Derfor isoleres ligningerne:
O=2*r_1*pi
O+1=2*r_2*pi
med hensyn til r_1 og r_2. Derefter findes differencen mellem disse 2; voila - højden h som stålwiren er løftet:
r_2-r_1=h
Svar #14
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Svar #15
27. juni 2008 af DennisDeH (Slettet)
Svar #16
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Opg. 2 er rigtig, men det er et "ingeniør"-bevis. Opg. 1 er falsk.
Svar #17
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Svar #18
27. juni 2008 af DennisDeH (Slettet)
Uddyb hvorfor det er forkert :). Mit begrænsede kendskab til statistik tillader mig ikke at uddybe det mere. Jeg anskuede opgaven ud fra den logik at når der var 365,25 mennesker, måtte der være 1 som havde fødselsdag på ét år. Var der dobbelt så mange mennesker, måtte der være dobbelt så stor sandsynlighed................
Og så var det at jeg opdagede hvad jeg skrev før!
Doh! (min hjerne forvirrede mig tilsyneladende)
Mener naturligvis at der så skal være 365,25 mennesker for at sandsynligheden vil være 0,5 for at 2 mennesker har fødselsdag samme dag.
--
Kald mig ingeniør, men det er umiddelbart det bedste jeg kan gøre i opg. 2.
Hvis jeg skulle gøre det anderledes, ville jeg sige at ved at tilføje end uendelig række af sqrt(6+(sqrt(6))), vil nærme os sqrt(9) uendelig meget.
Svar #19
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Med kendskab til den hypergeometriske fordeling giver opgaven meget mere mening. (Den nævnes generelt ikke på gym, og hvis den gør er det i 3.g). Svaret på opg. 1 er i øvrigt ca. 22-23 mennesker. Så hvis jeg har et tomt rum gælder følgenede:
I: Hvis der er 24 mennesker, er det mest sandsynligt at der findes to med samme fødselsdag.
II: Hvis der er 21 mennesker, er det mest sandsynligt, at der ikke findes to mennesker med samme fødselsdag.
Det er matematisk set korrekt, men det hviler på et andet falsk, empirisk udsagn. Folk på planeten er ikke født tilfældigt. Der er faktisk mange, som har fødselsdag i maj måned. Jeg har selv fødselsdag den 11. maj. Det er noget som påvirker vores hypotese (overvej)
Svar #20
27. juni 2008 af Euler (Slettet)
Hvornår har du fødselsdag Dennis? :)