Differentialligning 3

hint:

dy/dx)f'(x)=y(x^2-9)=y(x-3)(x+3)

Tak - er den første rigtig???

Hældningskoefficienten findes ved indsættelse i differentialligningen:

f'(x)=dy/dx=y(x^2-9)

hvoraf

f'(2)=2(2^2-9)=2(4-9)=2*(-5)=-10

det sidste led er også rigtigt, så vidt jeg lige kan se :-)

Mange tak ;-)

Godt hint iøvrigt - nu forstår jeg det vist

3>x +

3=x toppunkt

3<x -

Rigtigt?

a) y=f´(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

y´ = y* (x² - 9)

Ligningen for y' er ret simpekt, da du både kender x- og y-koordinaten

y´ = 2 * (2² - 9)                    y´ = - 10

y = 2 + (-10) * (x-2)            y = 22 - 10 x

Så ja, din opgave a er korrekt!

b)

For at bestemme monotoniforholdet for f skal du kende f´(x). f´(x) = y´. Det vil sige at hvis f´(x) er positiv er f stigende, hvis f´(x) er negativ er f aftagende og hvis f´(x) er 0 er det er toppunkt på f.

f´(x)  = f(x)  * (x² - 9)

Da det er oplyst at f(x)=y er større end 0, må det være fortegnet for (x²-9) der bestemmer fortegnet for f´(x).

Derfor kan du ved at løse ligningen 0 = x²-9, finde den x-værdi hvor der er et toppunkt....

0 = x²-9                x² = 9            x=√9

x = 3   v   x = -3

Prøv nu  at beregne x-værdier der er over,  under og mellem -3 og 3.

Det ses at der er toppunkt i x=-3 og x=3 og at f er stigende i x-intervallet ]-uendelig;-3] og [3;uendelig[ og aftagende i x-intervallet [-3;3].
Det vil også sige at der er lokalt maksimum i punktet (-3;f(-3)) og og lokalt minimum i punktet (3;f(3)).
 

/ Ayhan