Differentiering af In(x)

Du kan jo bevise det, men hvorfor vil du gerne det?

Ps. Det hedder ln og ikke in

Er det da udenad lære?

Jeg har mat på b niveau men bliver dog ikke bedt om at bevise den. Jeg har blot fået at vide at det giver 1/x og vil derfor godt vide hvordan.

Mvh Louise

Det er udenadslære ja. Du lærer at bevise nogle få af dem, såsom x^2, 1/x, √x, ax+b. Generelt set er det dog bare udenadslære. Det ville tage alt for lang tid, hvis du skulle tretrins-reglen ned over dem hver eneste gang, du skulle differentiere. 

..hvis du skulle trække tretrins-reglen ned...*

#3 Hvordan ...

Lad y=ln(x). Så er

y+Δy=ln(x+Δx)

Δy=ln(x+Δx)-ln(x)=ln((x+Δx)/x)=ln(1+Δx/x) så

?y/Δx=1/Δxln(1+Δx/x) =1/x·x/Δxln(1+Δx/x)=1/xln(1+Δx/x)^x/?x og dermed

dy/dx=1/x·lim_Δx→0ln(1+Δx/x)^x/?x =1/x·ln(lim_Δx→0(1+Δx/x)^x/?x)=1/x

... oki du skal vide at lim_Δx→0(1+Δx/x)^x/?x=1 ... men det vises nemt med lidt mere mat.viden

hmm ? burde være Δ i svaret ...

Eller alternativt benytte definitionen af den naturlige logaritme af x > 0 som er følgende

fås at

#8 er du sikker på at #0 kender denne def?

Jeg må desværre indrømme at jeg ikke er bekendt med alle de fremgangsmåder i kommer med.

Men jeg vil uden tvivl bruge tid på at lære dem.

Tusind tak for hjælpen allesammen

Min ... altså #6 er tretrinsreglen ... godt nok lidt hurtig

................ du kan også udnytte at e^x er invers til ln(x) ... det gør det nok meget nemmere, altså i mit bevis (#6)

#9

Det kan der være en pointe i.

Kære øregård girl

Jeg håber mit indlæg kunne bruges og ikke blot var abstrakt nonsens

#13

Du har ret: Tretrinsreglen kan bruges, men der er en mere enkel måde hvis vi kan et par regneregler for differentiable funktioner (f og g) og eksponentialfunktioner og logaritmer.

Vi ved (forhåbentlig), at

ln(x) er den inverse til e^x, hvilket betyder

Jeg sætter nu

Vi ved, at

og samtidig med

har vi

og dermed

g' er den ukendte, men vi kender f' og g og får da

Hvor er lettelsen? Såvidt jeg kan se bruger du mange flere resultater end jeg?

Det er vel en smagssag. Her mener jeg at det er nemmest at udvikle regneregler for de begreber man bruger og benytte dem fremfor altid at vende tilbage til definitionen.

Men jeg må indrømme, at da jeg skrev den første linje gik jeg udfra at jeg direkte kunne bruge resultatet for differentiering af en invers funktion, men blev i tvivl om den var kendt i gymnasiet og så beviste jeg den. Jeg burde nok have skrevet første linje om.

Min oprindelige tanke var at skrive noget i stil med følgende:

Vi ved at der for f monoton og differentiabel gælder

og dermed for

gælder

Selvom man kan mange resultater ... så bør/skal man stadig huske på KISS ikk?

Keep It Simple, Stupid...

Tjo... jeg synes nu stadig mine svar er de mest intuitive og simple. Jeg skriver dem bare ret detaljeret ud, det er jo ikke fordi der sker de vilde ting gennem alle mine linjer.

øregård girl har da fået en del bud på hvordan man differentierer.Hun må jo afgøre hvad hun synes er klarest.

#6

Mener du vel

og ikke

Eller hvad?

Det er jo ganske nemt at lave "simple" udregninger hvis man tager udsagn som disse for givne.

Det er da glædeligt, at I hygger jer med de forskellige fremgangsmåder, men jeg tror for at være helt ærligt ikke, at det hjælper #0 ret meget.

1) I gymnasiet bruges tretrinsreglen

2) Limes er udgået af gymnasiepensum

3) Inverse funktioner, sammensatte funktioner etc hører ikke til på B-niveau

4) etc..