Bevis af 2. ordens dif.ligning

 bevise hvad :P?

Den fuldstændige løsnings form vel?

Du skal ikke bruge Wronski her, du skal bare finde den karakteristiske ligning og løse den. Har du en ligning af typen homogen 2. med konstante koeffecienter, som du har her, lad os tage udgangspunkt i:

y''+ay'+by=0, så finder du først den såkaldte karakteristiske rod af ligningen λ²+aλ+b=0. Vi starter faktisk med at gætte en løsning, nemlig y=exp(λ*x). Prøv at sætte den ind i din ligning!

Så kan der være tre tilfælde 1) to forskellige reelle rødder, 2) to kompleks konjugerede rødder og 3) en reel dobbeltrod.

Så har du lidt at begynde med.

vis at

y = f(t) = c₁*cos(kt) + c₂*sin(kt)
er en løsning

det kan bevises, at

y = f(t) = c₁*cos(kt) + c₂*sin(kt) er den fuldstændige løsning...

Okay mange tak...

Er der nogen der kan hjælpe mig med, at y = f(t) = c1*cos(kt) + c2*sin(kt) er den fuldstændige løsning.

Jeg ved at jeg skal bruge nogle hjælpefunktioner, men kan ikke helt gennemskue hvilke..

Jeg ved ikke, om følgende hjælper dig. Det er sikkert det samme, som står i din bog: http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#anden 

se
http://peecee.dk/upload/view/144220

Ja, det bevis er et af dem, som mathon skrev ind her på et tidspunkt. Er der ikke lavet et centralt sted til sådanne udledninger her på Studieportalen. Måske mathon skulle skrive beviset ind i afsnittet om differentialligninger i Lektiewikien.

Tusind tusind tak... Har prøvet at forstå beviset, som du har skrevet... Og nu har jeg endelig forstået det - YES ;-)

Skal nemlig fremlægge om beviset..

Vil du ydermere hjælpe mig med, hvad den fuldstændige løsning til nedenstående dif. ligning er?? Så vil jeg være super glad (mere end i forvejen ;-)  )

y'' = ay'+k²y=0

Det var godt nok heldigt, jeg lige opdagede det her indlæg ;-)

Hehe ja, der var du heldig Jekoa ;-)

Tusind tak for hjælpen, også fra mig :-)

Jeg har også forstået det nu........!! Hurra

#8

Løsningen: y₁= exp(λ₁x) og y₂=exp(λ₂x), hvor λ=(a+/-(√a²+4k²))/2