Matematik

Rødder, 3-gradsligning

31. oktober 2004 af Blond (Slettet)

Hej. Hvordan finder jeg rødderne til denne ligning: -X^3-X^2+4X+4

Håber nogle kan hjælpe....

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. oktober 2004 af allan_sim

Der er flere muligheder:

1) Gæt en rod og faktoriser polynomiet.

2) Brug en lommeregner eller computer og tjek, at de tre foreslåede løsninger er korrekte.

3) Sæt ind i den generelle løsningsformel for 3.gradsligninger.

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. oktober 2004 af -1^(1/2) (Slettet)

4) Benyt Niels Henrik Abels løsningsmetode for tredjegradsligninger, givet at det er umuligt at gætte en rod.

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. oktober 2004 af iB (Slettet)

Newton-Raphson´s metode er også en mulighed.

Svar #4
31. oktober 2004 af Blond (Slettet)

Jeg er stadig blank.
Hvilket computerprogram kan løse 3-gradsligninger?

Jeg hved at lommenregneren Ti68 kan, med sådan en har jeg desværre ikke.

...Måske kunne jeg være så heldige, at en kan jer kan hjælpe ved at trykke tallene ind....???

Udregningerne er ikke vigtige for mig, da jeg bare skal bruge rødderne til, at komme videre i noget matriceregning.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. oktober 2004 af 404error (Slettet)

Mht. at gætte rødder, er det næsten altid muligt i opgavesammenhæng. Der findes faktisk en smart måde at gøre det på uden lommeregner, som mærkeligt nok ikke er en del af gymnasiepensum. Såfremt et polynomium med heltallige koefficienter

f(x) = a_0 + ... + a_n * x^n

har en rational rod p/q, så vil p gå op i a_0 og q gå op i a_n. Det er en meget nem sætning at vise.

Bruger du den, får du et endeligt antal potentielle rationale rødder, som du kan tjekke ved indsættelse. I dit eksempel ses at

+/- p = 1,2,4
+/- q = 1,

hvoraf vi slutter, at der er følgende potentielle rationale rødder

-4,-2,-1,1,2,4,

og ved indsættelse viser det sig faktisk, at ovenstående fremgangsmåde giver samtlige rødder.

Naturligvis, såfremt polynomiet ej har en rational rod, vil ingen af de potentielle rødder virke; det er dog sjældent en bekymring i gymnasieopgaver.

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. oktober 2004 af iB (Slettet)

#5
Smart metode! (den havde jeg heller aldrig hørt om)

#4
"tryke, trykke"
-> -2,-1 og 2 er rødderne

Svar #7
31. oktober 2004 af Blond (Slettet)

Tak for det, jeg prøver....

Svar #8
31. oktober 2004 af Blond (Slettet)

Ib, tak..

Brugbart svar (0)

Svar #9
31. oktober 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Hvis du har givet

f(x) = a*x^3+b*x^2+c*x+d,

hvor a,b,c,d er reelle tal, så kan du finde rødderne (her kaldet x1,x2,x3) i dette polynomium som

a2 := b/a
a1 := c/a
a0 := d/a

Q := (3*a1-a2^2)/9
R := (9*a2*a1-27*a0-2*a2^3)/54

K := Q^3+R^2

S := (R+K^(1/2))^(1/3)
T := (R-K^(1/2))^(1/3)

x1 = -a2/3+S+T
x2 = -a2/3-(S+T)/2+3^(1/2)/2*I*(S-T)
x3 = -a2/3-(S+T)/2-3^(1/2)/2*I*(S-T)

Brugbart svar (0)

Svar #10
31. oktober 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

... hvor I^2 = -1.

Skriv et svar til: Rødder, 3-gradsligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.