Kompleks funktioner

Ekponentialfunktionen for komplex z=x+iy, kaldet e^z er defineret ved de reelle funktioner e^x, cos(y) og sin (y) nemlig som e^z = e^x(cos(y)+isin(y)). Vi springer over hvorfor i første omgang., men du skal læse om Cauchy-Riemann ligningen. Differentierer vi nu e^z, så får vi den partielle afledede af (e^z)'=e^z. Prøv selv. Og sætter du nu z₁=x₁+iy₁ og z₂=x₂+iy₂ og bruger additionsformlerne for sinus og cosinus så får du, at

e^z1+z2=e^z1z2 Af den første formel, som jeg skrev får du så den vigtige Eulers formel:

e^iy=cos(y)+isin(y). Der gælder også at den numeriske værdi af e^iy=1, hvilket du også kan kontrollere. Til sidst kan det vises, at e^z, numerisk er lig e^x

Nu vil jg ikke gå ind i hele terminologien omkring de komplekse tal, men det er da en start. Du kan nu selv udlede additionsformlerne, men ellers får du dem her:

cos(z₁+z₂)=cos(z₁)*cos(z₂)-sin(z₁)sin(z₂). Du skal bruge, at cos(x)=½(e^ix+e^-ix) og sin(x)=1/2i(e^ix-e^-ix). De sidste her er fra Eulers formler, så vi får for komplex cosinus, at cos(z)=½(e^iz+e^-iz) og for sin(z) =

1/2i*(e^iz-e^-iz). Fra additionsformlen fås cos(x+iy)=cos(x)cos(iy)-sin(x)sin(iy) osv. Det kan også vises, at cos(iy)=cosh(y) og sin(iy)=isinh(y).

Håber det er tilstrækkeligt, for det tager lidt tid, at skrive det hele.

jeg glemte det andet spørgsmål: sin(3x)=(sin2x+x)=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sinx)=

(cos²(x)-sin²(x))*cos(x)-(2sin(x)cos(x))*sin(x)

Tusind tak, det er virkelig en stor hjælp!

Mange tak :o)