Matematik

Areal

09. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

(jeg ved at jeg har oprettet et andet indlæg der ligner dette men dette er et andet del-spm)

I et koordinatsystem er en kurve givet ved parameterfremstilling

x=t^2+2

y=9t-t^3

P(11,0) er et dobbeltpunkt på kurven, dvs et punkt der svarer til to forsk. værdier af t.

Kurven har 3 tangenter, der hver for sig er parallel med en af koordinatsystemets akser. Disse 3 tangenter og linjen med ligningen x=11 danner et rektangel.

Beregn den eksakte værdi af arealet af dette rektangel.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Få grafregneren til at tegne banekurven, så du kan gøre dig klart, hvordan rektanglet er placeret.

Givet vektorfunktionen

r(t) = (x(t),y(t)) = (t^2 + 2,9t - t^3)

hvor t gennemløber R (de reelle tal).

Vi søger den eksakte værdi af arealet af rektanglet, som afgrænses af banekurvens lodrette og vandrette tangenter, samt linien med ligning x=11.

Differentier vektorfunktionen r(t),

r'(t) = (x'(t),y'(t)) = (2t, 9-3t^2)

hvor t er reel.

Bemærk, at banekurven har lodret tangent for x'(t)=0 og vandret tangent for y'(t)=0.

Lodret tangent,

x'(t) = 2t = 0 <=> t = 0

giver punktet (2,0).

Vandrette tangenter,

y'(t) = 9 - 3t^2 = 0 <=> t = +/-sqrt(3)

giver punkterne

(5,-6*sqrt(3)) og (5,6*sqrt(3))

Kontroller selv, at det virkelig er korrekt. Tegn eventuelt en skitse af banekurven med rektanglet afmærket.

Rektanglets højde h er den vertikale afstand mellem de to sidste punkter,

h = (6-(-6))*sqrt(3) = 12*sqrt(3)

og rektanglets bredde b er den horisontale afstand mellem punkterne (2,0) og (11,0),

b = 11-2 = 9

så det søgte areal A af rektanglet er

A = b*h = 9*(12*sqrt(3)) = 108*sqrt(3)

eksakt, og cirka 187,1 afrundet.
Husk, at det er den eksakte værdi der ønskes bestemt.

//Singularity

Svar #2
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

tusinde tak, du redder virklelig ens dag!

jeg forstår bare ikke:

"giver punkterne

(5,-6*sqrt(3)) og (5,6*sqrt(3)) "

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Du skal bare indsætte t-værdierne

t=-sqrt(3) og t=sqrt(3)

i vektorfunktionen r(t), i toppen af #1. Det giver punkterne på banekurven,

(5,-6*sqrt(3)) og (5, 6*sqrt(3))

Kontroller selv, at dette er korrekt.
Er du med nu?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Her kommer beregningerne,

x(-sqrt(3)) = (-sqrt(3))^2 + 2 = 5
y(-sqrt(3)) = 9(-sqrt(3))-(-sqrt(3))^3 = (-9-(-3))*(sqrt(3)) = -6*sqrt(3)

x(sqrt(3)) = (sqrt(3))^2 + 2 = 5
y(sqrt(3)) = 9*sqrt(3)-(sqrt(3))^3 = -y(-sqrt(3)) = -(-6*sqrt(3)) = 6*sqrt(3))

Så kan du sove roligt i nat :)

//Singularity

Svar #5
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

hehe tak for det!

men helt roligt kan jeg nok ikke sove når jeg også skal finde den eksakte værdi af det areal kurven afgrænser:)

Svar #6
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

sqrt betyder vel kvadratrod af...

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Lige præcis :) det er en standardbetegnelse i mange matematikprogrammer.

Hvis du vil have hjælp til den sidste opgave, så bare sig til. Jeg mener at kunne huske, at man i den type opgaver skal have gang i en integration i t, men kan ikke huske formlen. Du har sikkert en Formelsamling i Matematik, så du kan sikkert give mig formlen om nødvendigt. Men skynd dig - jeg går snart til køjs :)

//Singularity

Svar #8
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

ok tak!

Svar #9
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

Formlen hedder: integralet fra a til b for f(x)dx

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Hov hov du - ikke den :) Det er en vektorfunktion, vi regner på her.

Slå op under vektorfunktioner og find ud af, hvilken formel der bruges til at finde arealet af en punktmængde som banekurven omslutter.

Og - skynd dig :)

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Integralet skulle meget gerne indeholde tidsparameteren som grænser, fx t1 og t2 eller noget i den stil.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Whatever - jeg har fundet den relevante formel.

Kurven afgrænser en punktmængde som har et areal, A. Dette ønskes altså bestemt.

Bemærk, at vi i begyndelsen af opgaven fik oplyst, at P(11,0) er et dobbeltpunkt. Dette punkt svarede som bekendt til parameterværdierne

t=-3 og t=3

Bemærk, at vektorfunktionen r(t) er kontinuert, og har kontinuerte afledede, så vi kan udregne arealet ved brug af formlen

S(y(t)*x'(t))dt

hvor S er integraltegnet, nedre grænse t=-3 og øvre grænse t=3.

Det ubestemte integral er altså

S(9t-t^3)*2t dt = S(18t^2-2t^4)dt

hvilket giver

(18/3)t^3-(2/5)t^5

og heri indsættes t=3 og t=-3, så

A = ((18/3)*(3^3)-(2/5)*(3^5))-((18/3)*(-3)^3-(2/5)*(-3)^5) = 648/5

eksakt, er det søgte areal af punktmængden, som banekurven omslutter. Er du med på det?

//Singularity

Svar #13
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

nåh sorry

A=integralet fra x1 til x2 for ydx = integralet fra t1 til t2 for g(t)*f´(t)dx

Svar #14
10. november 2004 af kyllerylle (Slettet)

jeg er helt med:)

du er bare så sej:)
1000 tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Tak, men jeg har fundet ud af det nu :) Jeg håber, du er med på fremgangsmåden og udregningerne.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Bemærk i øvrigt, at A er mindre end arealet af rektanglet som vi beregnede tidligere. Det skulle også gerne være tilfældet - punktmængden er indeholdt i rektanglet.

Ikke flere kommentarer for i dag :)
Godnat.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #17
10. november 2004 af allan_sim

Hvis jeg fortsat skal anbefale mine elever at bruge Studieportalen, så må detaljegraden af hjælpen sættes ned. Hvis vi når en situation, hvor opgaverne praktisk talt løses komplet, så går vi fra at kalde tingene for lektiehjælp til at være grænsende til snyd - og det ønsker vi jo ikke :-)

Brugbart svar (0)

Svar #18
10. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#17: Enig Allan. Jeg er opmærksom på problemet, så fremover vil jeg begrænse svarenes længde, så de fremstår som vejledning snarere end fuldstændige løsninger på opgaverne.

Måske kan en egentlig vejledende løsning komme på tale i de få tilfælde, hvor eleven måtte være helt lost, selv efter man har givet forskellige hints.

//Singularity

Skriv et svar til: Areal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.